Cálculo de Jones

Em óptica, a luz polarizada pode ser descrita usando o cálculo de Jones, descoberto por R. C. Jones em 1941. A luz polarizada é representada por um vetor de Jones e elementos ópticos lineares são representados por matrizes de Jones. Quando a luz atravessa um elemento óptico, a polarização resultante da luz emergente é encontrada tomando o produto da matriz de Jones do elemento óptico e o vetor de Jones da luz incidente. Observe que o cálculo de Jones só é aplicável à luz que já está totalmente polarizada. A luz que é polarizada aleatoriamente, parcialmente polarizada ou incoerente deve ser tratada usando o cálculo de Mueller.

Vetor de Jones

O vetor de Jones descreve a polarização da luz no espaço livre ou outro meio homogêneo isotrópico não atenuante, onde a luz pode ser adequadamente descrita como ondas transversais. Suponha que uma onda plana monocromática de luz esteja viajando na direção z positiva, com frequência angular ω e vetor de onda k = (0, 0,k), onde o número de onda k = ω/c. Então os campos elétrico e magnético E e H são ortogonais a k em cada ponto; ambos estão no plano "transversal" à direção do movimento. Além disso, H é determinado a partir de E por rotação de 90 graus e um multiplicador fixo dependendo da impedância de onda do meio. Portanto, a polarização da luz pode ser determinada estudando E. A amplitude complexa de E é escrita

(Ex())ESim.())0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(E0xeEu...(kzangão.- Sim. - Sim. ω ω )+φ φ x)E0Sim.eEu...(kzangão.- Sim. - Sim. ω ω )+φ φ Sim.)0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(E0xeEu...φ φ xE0Sim.eEu...φ φ Sim.0)eEu...(kzangão.- Sim. - Sim. ω ω )).{displaystyle {begin{pmatrix}E_{x}(t)E_{y}(t)end{pmatrix}}={begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-omega t+phi ^{x})}\E_{0y}e^{i(kz-omega t+phi _{y} _{x}}E_{0y}e^{iphi _{y}}\0end{pmatrix}}e^{i(kz-omega t)}.}

Note que o físico E campo é a parte real deste vetor; o multiplicador complexo serve as informações de fase. Aqui. Eu...Não. é a unidade imaginária com Eu...2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 1Não. I^{2}=1}.

O vetor de Jones é

(E0xeEu...φ φ xE0Sim.eEu...φ φ Sim.).{displaystyle {begin{pmatrix}E_{0x}e^{iphi _{x}}E_{0y}e^{iphi _{y}}end{pmatrix}}.}

Assim, o vetor de Jones representa a amplitude e a fase do campo elétrico nas direções x e y.

A soma dos quadrados dos valores absolutos das duas componentes dos vetores de Jones é proporcional à intensidade da luz. É comum normalizá-lo para 1 no ponto inicial do cálculo para simplificação. Também é comum restringir o primeiro componente dos vetores de Jones a um número real. Isso descarta as informações gerais de fase que seriam necessárias para o cálculo da interferência com outros feixes.

Note que todos os vetores e matrizes Jones neste artigo empregam a convenção de que a fase da onda de luz é dada por φ φ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =kzangão.- Sim. - Sim. ω ω ){displaystyle phi =kz-omega t}, uma convenção usada por Hecht. Sob esta convenção, aumento φ φ x{displaystyle phi _{x}} (ou φ φ Sim.{displaystyle phi _{y}}) indica o atraso (atraso) na fase, enquanto a diminuição indica avanço na fase. Por exemplo, um componente de vetores Jones de Eu...Não. (= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eEu...D D /2{displaystyle =e^{ipi /2}}) indica o atraso por D D /2{displaystyle pi /2} (ou 90 graus) em comparação com 1 (= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =e0{displaystyle =e^{0}}). A polarização circular descrita na convenção de Jones é chamada: "Do ponto de vista do receptor." Collett usa a definição oposta para a fase (φ φ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ω ω )- Sim. - Sim. kzangão.{displaystyle phi =omega t-kz}). A polarização circular descrita na convenção de Collett é chamada: "Do ponto de vista da fonte." O leitor deve estar atento à escolha da convenção quando consultar referências sobre o cálculo Jones.

A tabela a seguir fornece os 6 exemplos comuns de vetores de Jones normalizados.

Polarização	vetor de Jones	Notação típica do ket
Linear polarizado no x Direcção Tipicamente chamado "horizontal"	(10){displaystyle {begin{pmatrix}1end{pmatrix}}}	|H. H. H.)) Não. |Hrangle }
Linear polarizado no Sim. Direcção Tipicamente chamado "vertical"	(01){displaystyle {begin{pmatrix}01end{pmatrix}}}	|V)) Não. |Vrangle }
Linear polarizado a 45° do x eixo Tipicamente chamado "diagonal" L+45	12(11){displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}11end{pmatrix}}}	|D)) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12(|H. H. H.)) +|V)) )Não. |Drangle ={frac {1}{sqrt {2}}}{big (}|Hrangle +|Vrangle {big)}}
Linear polarizado a -45° do x eixo Tipicamente chamado "anti-diagonal" L−45	12(1- Sim. - Sim. 1){displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}1-1end{pmatrix}}}	|A)) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12(|H. H. H.)) - Sim. - Sim. |V)) )Não. |Arangle ={frac {1}{sqrt {2}}}{big (}|Hrangle -|Vrangle {big)}}
Direita circular polarizada Tipicamente chamado "RCP" ou "RHCP"	12(1- Sim. - Sim. Eu...){displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}1-iend{pmatrix}}}	|R)) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12(|H. H. H.)) - Sim. - Sim. Eu...|V)) )Não. |Rrangle ={frac {1}{sqrt {2}}}{big (}|Hrangle -i|Vrangle {big)}}
Esquerda circular polarizada Tipicamente chamado "LCP" ou "LHCP"	12(1+Eu...){displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}1+iend{pmatrix}}}	|L)) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12(|H. H. H.)) +Eu...|V)) )Não. |Lrangle ={frac {1}{sqrt {2}}}{big (}|Hrangle +i|Vrangle {big)}}

Um vetor geral que aponta para qualquer lugar na superfície é escrito como um ket |? ? )) |psi rangle }. Ao empregar a esfera Poincaré (também conhecida como a esfera Bloch), a base kets (|0)) |0rangle } e |1)) |1rangle }) deve ser atribuído a pares opostos (antipodal) dos kets listados acima. Por exemplo, pode-se atribuir |0)) |0rangle } = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = |H. H. H.)) Não. |Hrangle } e |1)) |1rangle } = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = |V)) Não. |Vrangle }. Estas atribuições são arbitrárias. Os pares de oposição são

• |H. H. H.)) Não. |Hrangle } e |V)) Não. |Vrangle }
• |D)) Não. |Drangle } e |A)) Não. |Arangle }
• |R)) Não. |Rrangle } e |L)) Não. |Lrangle }

A polarização de qualquer ponto não igual a |R)) Não. |Rrangle } ou |L)) Não. |Lrangle } e não no círculo que passa |H. H. H.)) ,|D)) ,|V)) ,|A)) {displaystyle |Hrangle|Drangle|Vrangle|Arangle } é conhecido como polarização elíptica.

Matrizes de Jones

As matrizes de Jones são operadores que atuam sobre os vetores de Jones definidos acima. Essas matrizes são implementadas por vários elementos ópticos, como lentes, divisores de feixe, espelhos, etc. Cada matriz representa a projeção em um subespaço complexo unidimensional dos vetores de Jones. A tabela a seguir dá exemplos de matrizes de Jones para polarizadores:

Elemento óptico	Matriz de Jones
polarizador linear com eixo de transmissão horizontal	(1000){displaystyle {begin{pmatrix}1&0&0end{pmatrix}}}
polarizador linear com eixo de transmissão vertical	(0001){displaystyle {begin{pmatrix}0&0\0&1end{pmatrix}}}
polarizador linear com eixo de transmissão a ±45° com a horizontal	12(1± ± 1± ± 11){displaystyle {frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1&pm 1pm 1&1end{pmatrix}}}}}
polarizador linear com eixo de ângulo de transmissão θ θ - Sim. da horizontal	(e2⁡ ⁡ (θ θ )e⁡ ⁡ (θ θ )pecado⁡ ⁡ (θ θ )e⁡ ⁡ (θ θ )pecado⁡ ⁡ (θ θ )pecado2⁡ ⁡ (θ θ )){displaystyle {begin{pmatrix}cos ^{2}(theta)&cos(theta)sin(theta)\cos(theta)sin(theta)&sin ^{2}(theta)end{pmatrix}}}
Polarizador circular direito	12(1Eu...- Sim. - Sim. Eu...1){displaystyle {frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1&i-i&1end{pmatrix}}}
Polarizador circular esquerdo	12(1- Sim. - Sim. Eu...Eu...1){displaystyle {frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1&-ii&1end{pmatrix}}}

Retardadores de fase

Um retardador de fase é um elemento óptico que produz uma diferença de fase entre dois componentes de polarização ortogonal de um feixe de luz polarizado monocromático. Matematicamente, usando kets para representar vetores de Jones, isso significa que a ação de um retardador de fase é transformar a luz com polarização

|P)) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c1|1)) +c2|2)) {displaystyle |Prangle =c_{1}|1rangle +c_{2}|2rangle }

para

|P?)) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c1eEu...? ? /2|1)) +c2e- Sim. - Sim. Eu...? ? /2|2)) {displaystyle |P'rangle =c_{1}{rm {e}}^{ieta /2}|1rangle +c_{2}{rm {e}}^{-ieta /2}|2rangle }

Onde? |1)) ,|2)) |1rangle|2rangle } são componentes de polarização ortogonal (i.e. ⟨ ⟨ 1|2)) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle langle 1|2rangle - Sim.) que são determinados pela natureza física do retardador de fase. Em geral, os componentes ortogonais podem ser vetores de duas bases. Por exemplo, a ação do retarder de fase circular é tal que

|1)) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12(1- Sim. - Sim. Eu...)umnD|2)) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12(1Eu...){displaystyle |1rangle ={frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}1\-iend{pmatrix}}mathrm { \ e } |2rangle ={frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}1iend{pmatrix}}}

No entanto, retardadores de fase lineares, para os quais |1)) ,|2)) |1rangle|2rangle } são polarizações lineares, são mais comumente encontradas em discussão e na prática. Na verdade, às vezes o termo "retarder de fase" é usado para se referir especificamente a retardadores de fase linear.

Retardadores de fase linear são geralmente feitos de cristais uniaxiais birrefringentes, como calcita, MgF₂ ou quartzo. As placas feitas desses materiais para esse fim são chamadas de placas de onda. Os cristais uniaxiais têm um eixo de cristal que é diferente dos outros dois eixos de cristal (isto é, n_i ≠ n_j = n_k). Esse eixo único é chamado de eixo extraordinário e também é conhecido como eixo óptico. Um eixo óptico pode ser o eixo rápido ou lento para o cristal, dependendo do cristal em questão. A luz viaja com uma velocidade de fase mais alta ao longo de um eixo que possui o menor índice de refração e esse eixo é chamado de eixo rápido. Da mesma forma, um eixo que possui o maior índice de refração é chamado de eixo lento, pois a velocidade de fase da luz é a mais baixa ao longo desse eixo. "Negativo" cristais uniaxiais (por exemplo, calcita CaCO₃, safira Al₂O₃) têm n_e < n_o portanto, para esses cristais, o eixo extraordinário (eixo óptico) é o eixo rápido, enquanto para "positivo" cristais uniaxiais (por exemplo, quartzo SiO₂, fluoreto de magnésio MgF₂, rutilo TiO₂), n_e > n_o e assim o eixo extraordinário (eixo óptico) é o eixo lento. Existem outros retardadores de fase linear disponíveis comercialmente e são usados em aplicações mais especializadas. Os losangos Fresnel são uma dessas alternativas.

Qualquer retardador de fase linear com seu eixo rápido definido como o eixo x ou y tem zero termos fora da diagonal e, portanto, pode ser convenientemente expresso como

(eEu...φ φ x00eEu...φ φ Sim.){displaystyle {begin{pmatrix}{rm {e}}^{iphi _{x}}&0\0&{rm {e}}^{iphi _{y}}end{pmatrix}}}

Onde? φ φ x{displaystyle phi _{x}} e φ φ Sim.{displaystyle phi _{y}} são os deslocamentos de fase dos campos elétricos em xNão. e Sim.- Sim. direções respectivamente. Na convenção de fase φ φ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =kzangão.- Sim. - Sim. ω ω ){displaystyle phi =kz-omega t}, definir a fase relativa entre as duas ondas como ε ε = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ Sim.- Sim. - Sim. φ φ x{displaystyle epsilon =phi _{y}-phi _{x}}. Então, um positivo ε ε - Sim. (i.e. φ φ Sim.{displaystyle phi _{y}} > φ φ x{displaystyle phi _{x}}) significa que ESim.Não. E_{y}} não atinge o mesmo valor que Ex{displaystyle E_{x}} até mais tarde, ou seja. Ex{displaystyle E_{x}} leads ESim.Não. E_{y}}. Da mesma forma, se <math alttext="{displaystyle epsilon ε ε <0{displaystyle epsilon <0}<img alt="epsilon , então ESim.Não. E_{y}} leads Ex{displaystyle E_{x}}.

Por exemplo, se o eixo rápido de uma placa de onda de quarto é horizontal, então a velocidade de fase ao longo da direção horizontal está à frente da direção vertical ou seja, Ex{displaystyle E_{x}} leads ESim.Não. E_{y}}. Assim, <math alttext="{displaystyle phi _{x}φ φ x<φ φ Sim.{displaystyle phi _{x}<phi _{y}}<img alt="phi _{x} que para um quarto waveplate produz φ φ Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ x+D D /2{displaystyle phi _{y}=phi _{x}+pi /2}.

Na convenção oposta φ φ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ω ω )- Sim. - Sim. kzangão.{displaystyle phi =omega t-kz}, definir a fase relativa como ε ε = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ x- Sim. - Sim. φ φ Sim.{displaystyle epsilon =phi _{x}-phi _{y}}. Então... 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0- Sim.0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/> significa que ESim.Não. E_{y}} não atinge o mesmo valor que Ex{displaystyle E_{x}} até mais tarde, ou seja. Ex{displaystyle E_{x}} leads ESim.Não. E_{y}}.

Phase retarders	Corresponding Jones matrix
Quarter-wave plate with fast axis vertical	e i π 4 ( 1 0 0 − i ) {displaystyle {rm {e}}^{frac {ipi }{4}}{begin{pmatrix}1&0\0&-iend{pmatrix}}}
Quarter-wave plate with fast axis horizontal	e − i π 4 ( 1 0 0 i ) {displaystyle {rm {e}}^{-{frac {ipi }{4}}}{begin{pmatrix}1&0\0&iend{pmatrix}}}
Quarter-wave plate with fast axis at angle θ {displaystyle theta } w.r.t the horizontal axis	e − i π 4 ( cos 2 ⁡ θ + i sin 2 ⁡ θ ( 1 − i ) sin ⁡ θ cos ⁡ θ ( 1 − i ) sin ⁡ θ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + i cos 2 ⁡ θ ) {displaystyle {rm {e}}^{-{frac {ipi }{4}}}{begin{pmatrix}cos ^{2}theta +isin ^{2}theta &(1-i)sin theta cos theta \(1-i)sin theta cos theta &sin ^{2}theta +icos ^{2}theta end{pmatrix}}}
Half-wave plate with fast axis at angle θ {displaystyle theta } w.r.t the horizontal axis	e − i π 2 ( cos 2 ⁡ θ − sin 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin 2 ⁡ θ − cos 2 ⁡ θ ) {displaystyle {rm {e}}^{-{frac {ipi }{2}}}{begin{pmatrix}cos ^{2}theta -sin ^{2}theta &2cos theta sin theta \2cos theta sin theta &sin ^{2}theta -cos ^{2}theta end{pmatrix}}}
General Waveplate (Linear Phase Retarder)	e − i η 2 ( cos 2 ⁡ θ + e i η sin 2 ⁡ θ ( 1 − e i η ) cos ⁡ θ sin ⁡ θ ( 1 − e i η ) cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + e i η cos 2 ⁡ θ ) {displaystyle {rm {e}}^{-{frac {ieta }{2}}}{begin{pmatrix}cos ^{2}theta +{rm {e}}^{ieta }sin ^{2}theta &left(1-{rm {e}}^{ieta }right)cos theta sin theta \left(1-{rm {e}}^{ieta }right)cos theta sin theta &sin ^{2}theta +{rm {e}}^{ieta }cos ^{2}theta end{pmatrix}}}
Arbitrary birefringent material (Elliptical phase retarder)	e − i η 2 ( cos 2 ⁡ θ + e i η sin 2 ⁡ θ ( 1 − e i η ) e − i ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ θ ( 1 − e i η ) e i ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + e i η cos 2 ⁡ θ ) {displaystyle {rm {e}}^{-{frac {ieta }{2}}}{begin{pmatrix}cos ^{2}theta +{rm {e}}^{ieta }sin ^{2}theta &left(1-{rm {e}}^{ieta }right){rm {e}}^{-iphi }cos theta sin theta \left(1-{rm {e}}^{ieta }right){rm {e}}^{iphi }cos theta sin theta &sin ^{2}theta +{rm {e}}^{ieta }cos ^{2}theta end{pmatrix}}}

A matriz de Jones para um material birrefringente arbitrário é a forma mais geral de uma transformação de polarização no cálculo de Jones; pode representar qualquer transformação de polarização. Para ver isso, pode-se mostrar

e- Sim. - Sim. Eu...? ? 2(e2⁡ ⁡ θ θ +eEu...? ? pecado2⁡ ⁡ θ θ (1- Sim. - Sim. eEu...? ? )e- Sim. - Sim. Eu...φ φ e⁡ ⁡ θ θ pecado⁡ ⁡ θ θ (1- Sim. - Sim. eEu...? ? )eEu...φ φ e⁡ ⁡ θ θ pecado⁡ ⁡ θ θ pecado2⁡ ⁡ θ θ +eEu...? ? e2⁡ ⁡ θ θ ){displaystyle {rm {e}}^{-{frac {ieta} }{2}}}{begin{pmatrix}cos ^{2}theta +{rm {e}}^{ieta }cosin ^{2}theta &left(1-{rm {e}}^{ieta }right){rm {e}}^{-iphi }cos theta sin theta \left(1-{rm {e}}^{ieta }right) +{rm {e}}^{ieta }cos ^{2}theta end{pmatrix}}}

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(e⁡ ⁡ (? ? /2)- Sim. - Sim. Eu...pecado⁡ ⁡ (? ? /2)e⁡ ⁡ (2θ θ )- Sim. - Sim. pecado⁡ ⁡ (? ? /2)pecado⁡ ⁡ (φ φ )pecado⁡ ⁡ (2θ θ )- Sim. - Sim. Eu...pecado⁡ ⁡ (? ? /2)e⁡ ⁡ (φ φ )pecado⁡ ⁡ (2θ θ )pecado⁡ ⁡ (? ? /2)pecado⁡ ⁡ (φ φ )pecado⁡ ⁡ (2θ θ )- Sim. - Sim. Eu...pecado⁡ ⁡ (? ? /2)e⁡ ⁡ (φ φ )pecado⁡ ⁡ (2θ θ )e⁡ ⁡ (? ? /2)+Eu...pecado⁡ ⁡ (? ? /2)e⁡ ⁡ (2θ θ ))(em inglês)

A matriz acima é uma parametrização geral para os elementos de SU(2), usando a convenção

SUAS SUAS⁡ ⁡ (2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =((α α - Sim. - Sim. β β ? ? β β α α ? ? ):α α ,β β ∈ ∈ C,|α α |2+|β β |2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1?{displaystyle operatorname {SU} (2)=left{{begin{pmatrix}alpha &-{overline {beta }}\beta &{overline Não. }}end{pmatrix}}: \alphabeta in mathbb {C} |alpha |^{2}+|beta |^{2}=1right}~}

onde o overline denota conjugação complexa.

Finalmente, reconhecendo que o conjunto de transformações unitárias sobre C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}} pode ser expresso como

(eEu...γ γ (α α - Sim. - Sim. β β ? ? β β α α ? ? ):α α ,β β ∈ ∈ C,|α α |2+|β β |2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,γ γ ∈ ∈ Não.0,2D D ]?{displaystyle left{{rm {e}}^{igamma } &-{overline {beta }}\beta &{overline Não. }}end{pmatrix}}: \alphabeta in mathbb {C} |alpha |^{2}+|beta |^{2}=1, gamma in [0,2pi ]right}}

torna-se claro que a matriz de Jones para um material birrefringente arbitrário representa qualquer transformação unitária, até um fator de fase eEu...γ γ {displaystyle rm {e}}^{igamma). Portanto, para a escolha adequada de ? ? - Sim., θ θ - Sim.e φ φ - Sim., uma transformação entre os dois vetores Jones pode ser encontrada, até um fator de fase eEu...γ γ {displaystyle rm {e}}^{igamma). No entanto, no cálculo de Jones, esses fatores de fase não mudam a polarização representada de um vetor Jones, assim como são considerados arbitrários ou impostas ad hoc para conformar-se a uma convenção definida.

As expressões especiais para os retardadores de fase podem ser obtidas tomando valores de parâmetros adequados na expressão geral para um material birrefringente. Na expressão geral:

• O retardo de fase relativo induzido entre o eixo rápido e o eixo lento é dado por ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ Sim.- Sim. - Sim. φ φ x{displaystyle eta =phi _{y}-phi _{x}}
• θ θ - Sim. é a orientação do eixo rápido em relação ao eixo x.
• φ φ - Sim. é a circularidade.

Note que para retardadores lineares, φ φ - Sim. = 0 e para retarders circulares, φ φ - Sim. = ± D D - Sim./2, θ θ - Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = D D - Sim./4. Em geral para retardadores elípticos, φ φ - Sim. assume valores entre - D D - Sim./2 e D D - Sim./2.

Elementos girados axialmente

Assuma que um elemento óptico tem seu eixo óptico perpendicular ao vetor de superfície para o plano de incidência e é girado em torno desse vetor de superfície por um ângulo θ/2 (ou seja, o plano principal através do qual o óptico eixo passa, faz um ângulo θ/2 em relação ao plano de polarização do campo elétrico da onda TE incidente). Lembre-se de que uma placa de meia onda gira a polarização duas vezes o ângulo entre a polarização incidente e o eixo óptico (plano principal). Portanto, a matriz de Jones para o estado de polarização girado, M(θ), é

M(θ θ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =R(- Sim. - Sim. θ θ )MR(θ θ ),{displaystyle M(theta)=R(-theta),M,R(theta),}

Onde? R(θ θ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(e⁡ ⁡ θ θ pecado⁡ ⁡ θ θ - Sim. - Sim. pecado⁡ ⁡ θ θ e⁡ ⁡ θ θ ).{displaystyle R(theta)={begin{pmatrix}cos theta &sin theta \-sin theta &cos theta end{pmatrix}}.}

Isso está de acordo com a expressão para uma placa de meia onda na tabela acima. Essas rotações são idênticas à transformação do divisor unitário de feixe na física óptica dada por

R(θ θ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(R)?)R?){displaystyle R(theta)={begin{pmatrix}r&t't&r'end{pmatrix}}}

onde os coeficientes com e sem priming representam feixes incidentes de lados opostos do divisor de feixe. Os componentes refletidos e transmitidos adquirem uma fase θ_r e θ_t, respectivamente. Os requisitos para uma representação válida do elemento são

θ θ )- Sim. - Sim. θ θ R+θ θ ) '- Sim. - Sim. θ θ R '= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =± ± D D {displaystyle theta _{text{t}}- theta _{text{r}}+theta _{text{t'}}-theta _{text{r'}}=pm pi }

e R∗ ∗ )?+)∗ ∗ R?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.- Sim.

Ambas as representações são matrizes unitárias que satisfazem estes requisitos; e, como tal, são válidas.

Elementos rotacionados arbitrariamente

Isso envolveria uma matriz de rotação tridimensional. Veja Russell A. Chipman e Garam Yun para o trabalho feito sobre isso.