Aritmética

Mesas aritméticas para crianças, Lausanne, 1835

Aritmética (do grego antigo ἀριθμός (arithmós) 'número' e τική [τέχνη] (tikḗ [tékhnē] ) 'arte, ofício') é uma parte elementar da matemática que consiste no estudo das propriedades das operações tradicionais com números - adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e extração de raízes. No século 19, o matemático italiano Giuseppe Peano formalizou a aritmética com seus axiomas de Peano, que são altamente importantes para o campo da lógica matemática hoje.

História

A pré-história da aritmética é limitada a um pequeno número de artefatos, que podem indicar a concepção de adição e subtração, sendo o mais conhecido o osso Ishango da África central, datado de algo entre 20.000 e 18.000 aC, embora sua interpretação é contestado.

Os registros escritos mais antigos indicam que os egípcios e babilônios usaram todas as operações aritméticas elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão, já em 2000 BC. Esses artefatos nem sempre revelam o processo específico usado para resolver problemas, mas as características do sistema numeral específico influenciam fortemente a complexidade dos métodos. O sistema hieroglífico para numerais egípcios, como os numerais romanos posteriores, descende de marcas de contagem usadas para contagem. Em ambos os casos, essa origem resultou em valores que usavam uma base decimal, mas não incluíam notação posicional. Cálculos complexos com algarismos romanos exigiam a ajuda de uma tábua de contagem (ou ábaco romano) para obter os resultados.

Os primeiros sistemas numéricos que incluíam a notação posicional não eram decimais; estes incluem o sistema sexagesimal (base 60) para numerais babilônicos e o sistema vigesimal (base 20) que definiu os numerais maias. Devido ao conceito de valor posicional, a capacidade de reutilizar os mesmos dígitos para valores diferentes contribuiu para métodos de cálculo mais simples e eficientes.

O desenvolvimento histórico contínuo da aritmética moderna começa com o período helenístico da Grécia antiga; originou-se muito mais tarde do que os exemplos babilônico e egípcio. Antes das obras de Euclides por volta de 300 aC, os estudos gregos em matemática se sobrepunham a crenças filosóficas e místicas. Nicômaco é um exemplo desse ponto de vista, usando a abordagem pitagórica anterior dos números e suas relações entre si em sua obra Introdução à Aritmética.

Os numerais gregos foram usados por Arquimedes, Diofanto e outros em uma notação posicional não muito diferente da notação moderna. Os antigos gregos não tinham um símbolo para zero até o período helenístico, e eles usavam três conjuntos separados de símbolos como dígitos: um conjunto para a posição das unidades, um para a posição das dezenas e um para as centenas. Para a casa dos milhares, eles reutilizariam os símbolos para a casa das unidades, e assim por diante. Seu algoritmo de adição era idêntico ao método moderno, e seu algoritmo de multiplicação era apenas ligeiramente diferente. Seu algoritmo de divisão longa era o mesmo, e o algoritmo de raiz quadrada dígito por dígito, popularmente usado até o século 20, era conhecido por Arquimedes (que pode tê-lo inventado). Ele o preferiu ao método de aproximação sucessiva de Hero porque, uma vez calculado, um dígito não muda, e as raízes quadradas de quadrados perfeitos, como 7485696, terminam imediatamente em 2736. Para números com uma parte fracionária, como 546,934, eles usaram potências negativas de 60 - em vez de potências negativas de 10 para a parte fracionária 0,934.

Os antigos chineses tinham estudos avançados de aritmética que datam da Dinastia Shang e continuaram através da Dinastia Tang, desde números básicos até álgebra avançada. Os antigos chineses usavam uma notação posicional semelhante à dos gregos. Como eles também não tinham um símbolo para o zero, eles tinham um conjunto de símbolos para a posição das unidades e um segundo conjunto para a posição das dezenas. Para a casa das centenas, eles reutilizaram os símbolos para a casa das unidades, e assim por diante. Seus símbolos foram baseados nas antigas varetas de contagem. A hora exata em que os chineses começaram a calcular com representação posicional é desconhecida, embora se saiba que a adoção começou antes de 400 BC. Os antigos chineses foram os primeiros a descobrir, entender e aplicar números negativos de forma significativa. Isso é explicado nos Nove Capítulos sobre a Arte Matemática (Jiuzhang Suanshu), que foi escrito por Liu Hui datado do século II aC.

O desenvolvimento gradual do sistema de numeração hindu-arábico criou independentemente o conceito de valor posicional e a notação posicional, que combinava os métodos mais simples para cálculos com uma base decimal e o uso de um dígito representando 0. Isso permitiu que o sistema representam consistentemente inteiros grandes e pequenos - uma abordagem que eventualmente substituiu todos os outros sistemas. No início do século VI dC, o matemático indiano Aryabhata incorporou uma versão existente desse sistema em seu trabalho e experimentou diferentes notações. No século 7, Brahmagupta estabeleceu o uso de 0 como um número separado e determinou os resultados para multiplicação, divisão, adição e subtração de zero e todos os outros números, exceto para o resultado da divisão por zero. Seu contemporâneo, o bispo siríaco Severus Sebokht (650 DC) disse: "Os indianos possuem um método de cálculo que nenhuma palavra pode elogiar o suficiente. Seu sistema racional de matemática, ou de seu método de cálculo. Refiro-me ao sistema que usa nove símbolos." Os árabes também aprenderam esse novo método e o chamaram de hesab.

O Stepped Reckoner de Leibniz foi a primeira calculadora que poderia executar todas as quatro operações aritméticas.

Embora o Codex Vigilanus tenha descrito uma forma primitiva de algarismos arábicos (omitindo 0) em 976 AD, Leonardo de Pisa (Fibonacci) foi o principal responsável por espalhar seu uso por toda a Europa após a publicação de seu livro Liber Abaci em 1202. Ele escreveu: "O método dos índios (latim Modus Indorum) supera qualquer método conhecido de computação. É um método maravilhoso. Eles fazem seus cálculos usando nove algarismos e o símbolo zero".

Na Idade Média, a aritmética era uma das sete artes liberais ensinadas nas universidades.

O florescimento da álgebra no mundo islâmico medieval, e também na Europa renascentista, foi uma conseqüência da enorme simplificação da computação por meio da notação decimal.

Vários tipos de ferramentas foram inventados e amplamente utilizados para auxiliar em cálculos numéricos. Antes do Renascimento, eram vários tipos de ábacos. Exemplos mais recentes incluem réguas de cálculo, nomogramas e calculadoras mecânicas, como a calculadora de Pascal. Atualmente, eles foram suplantados por calculadoras eletrônicas e computadores.

Operações aritméticas

As operações aritméticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão, embora a aritmética também inclua operações mais avançadas, como manipulações de porcentagens, raízes quadradas, exponenciação, funções logarítmicas e até funções trigonométricas, na mesma linha dos logaritmos (prostaférese). As expressões aritméticas devem ser avaliadas de acordo com a sequência pretendida de operações. Existem vários métodos para especificar isso, seja - mais comum, junto com a notação infixa - explicitamente usando parênteses e contando com regras de precedência, ou usando um prefixo ou notação pós-fixada, que fixam exclusivamente a ordem de execução por si mesmos. Qualquer conjunto de objetos sobre os quais todas as quatro operações aritméticas (exceto a divisão por zero) podem ser executadas e onde essas quatro operações obedecem às leis usuais (incluindo a distributividade) é chamado de corpo.

Adição

Adição, denotada pelo símbolo +Sim., é a operação mais básica da aritmética. Em sua forma simples, a adição combina dois números, os addends ou termos, em um único número, a soma dos números (como 2 + 3 = 5 ou 3 + 5 = 8).

A adição de números finitos pode ser vista como adição simples repetida; esse procedimento é conhecido como somatório, um termo também usado para denotar a definição de "adicionar infinitos números" em uma série infinita. A adição repetida do número 1 é a forma mais básica de contagem; o resultado da adição de 1 é geralmente chamado de sucessor do número original.

A adição é comutativa e associativa, portanto, a ordem em que um número finito de termos é adicionado não importa.

O número 0 tem a propriedade de, quando adicionado a qualquer número, resultar no mesmo número; então, é o elemento identidade da adição, ou a identidade aditiva.

Para cada número x, há um número denotado –x, chamado de oposto de x, tal que x + (–x) = 0 e (–x) + x = 0. Portanto, o oposto de x é o inverso de x em relação à adição, ou o inverso aditivo de x. Por exemplo, o oposto de 7 é −7, pois 7 + (−7) = 0.

A adição também pode ser interpretada geometricamente, como no exemplo a seguir. Se tivermos dois bastões de comprimentos 2 e 5, então, se os bastões estiverem alinhados um após o outro, o comprimento do bastão combinado será 7, pois 2 + 5 = 7.

Subtração

Subtração, denotada pelo símbolo - Sim. - Sim. - Sim., é a operação inversa para adição. Subtração encontra o diferença entre dois números, o Inglês menos o Subtraente: D = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M - Sim. S. Recorrendo à adição previamente estabelecida, isso é dizer que a diferença é o número que, quando adicionado ao subtraente, resulta no minuend: D + S = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M.

Para argumentos positivos M e S detém:

Se o minuend é maior do que o subtrahend, a diferença D é positivo.

Se o minuend é menor do que o subtrahend, a diferença D é negativo.

Em qualquer caso, se minuendo e subtraendo forem iguais, a diferença D = 0.

A subtração não é comutativa nem associativa. Por esse motivo, a construção dessa operação inversa na álgebra moderna é frequentemente descartada em favor da introdução do conceito de elementos inversos (conforme esboçado na § Adição), onde a subtração é considerada como a adição do inverso aditivo do subtraendo ao minuendo, que é, a − b = a + (−b). O preço imediato de descartar a operação binária de subtração é a introdução da operação unária (trivial), entregando o inverso aditivo para qualquer número dado e perdendo o acesso imediato à noção de diferença, que é potencialmente enganosa quando argumentos negativos estão envolvidos.

Para qualquer representação de números, existem métodos de cálculo de resultados, alguns dos quais particularmente vantajosos na exploração de procedimentos, existentes para uma operação, por pequenas alterações também para outras. Por exemplo, computadores digitais podem reutilizar circuitos de adição existentes e economizar circuitos adicionais para implementar uma subtração, empregando o método de complemento de dois para representar os inversos aditivos, que é extremamente fácil de implementar em hardware (negação). A compensação é a redução pela metade do intervalo de números para um comprimento de palavra fixo.

Um método antigamente difundido para obter um valor de troco correto, conhecendo os valores devidos e dados, é o método de contagem crescente, que não gera explicitamente o valor da diferença. Suponha que uma quantia P seja fornecida para pagar a quantia exigida Q, com P maior que Q. Em vez de executar explicitamente a subtração P − Q = C e contar o valor C no troco, o dinheiro é contado começando com o sucessor de Q, e continuando nas etapas da moeda, até P ser alcançado. Embora o valor contado deva ser igual ao resultado da subtração P − Q, a subtração nunca foi realmente feita e o valor de P − Q não é fornecido por este método.

Multiplicação

Multiplicação, denotada pelos símbolos × × {displaystyle times } ou )) - Sim., é a segunda operação básica da aritmética. Multiplicação também combina dois números em um único número, o produto. Os dois números originais são chamados de multiplicador e o multiplicador, principalmente ambos são chamados fatores.

A multiplicação pode ser vista como uma operação de escala. Se os números forem imaginados em uma linha, a multiplicação por um número maior que 1, digamos x, é o mesmo que estender tudo de 0 uniformemente, de forma que o próprio número 1 seja esticado para onde x estava. Da mesma forma, a multiplicação por um número menor que 1 pode ser imaginada como uma compressão para 0, de forma que 1 vai para o multiplicando.

Outra visão sobre a multiplicação de números inteiros (extensível para racionais, mas não muito acessível para números reais) é considerá-la como uma adição repetida. Por exemplo. 3 × 4 corresponde a adicionar 3 vezes 4 ou 4 vezes 3, dando o mesmo resultado. Existem diferentes opiniões sobre a vantagem desses paradigmas na educação matemática.

A multiplicação é comutativa e associativa; além disso, é distributivo sobre adição e subtração. A identidade multiplicativa é 1, já que multiplicar qualquer número por 1 resulta no mesmo número. O inverso multiplicativo para qualquer número exceto 0 é o recíproco desse número, porque multiplicar o recíproco de qualquer número pelo próprio número produz a identidade multiplicativa 1. 0 é o único número sem um inverso multiplicativo, e o resultado da multiplicação de qualquer número e 0 é novamente 0. Diz-se que 0 não está contido no grupo multiplicativo dos números.

O produto de a e b é escrito como a × b ou a·b. Também pode ser escrito por justaposição simples: ab. Em linguagens de programação de computadores e pacotes de software (nos quais só é possível usar caracteres normalmente encontrados em um teclado), geralmente é escrito com um asterisco: a * b.

Algoritmos que implementam a operação de multiplicação para várias representações de números são de longe mais caros e trabalhosos do que aqueles para adição. Aqueles acessíveis para cálculo manual dependem da divisão dos fatores em valores de posição única e aplicação de adição repetida, ou no emprego de tabelas ou réguas de cálculo, mapeando assim a multiplicação para a adição e vice-versa. Esses métodos estão desatualizados e são gradualmente substituídos por dispositivos móveis. Os computadores usam diversos algoritmos sofisticados e altamente otimizados para implementar multiplicação e divisão para os vários formatos de número suportados em seu sistema.

Divisão

Divisão, denotada pelos símbolos ÷ ÷ - Sim. ou /Não., é essencialmente a operação inversa à multiplicação. Divisão encontra a - Sim. de dois números, o dividendos dividido pela Divisor. Sob regras comuns, o dividendo dividido por zero é indefinido. Para números positivos distintos, se o dividendo é maior do que o divisor, o quociente é maior que 1, caso contrário, é menor ou igual a 1 (uma regra semelhante aplica-se para números negativos). O quociente multiplicado pelo divisor sempre produz o dividendo.

A divisão não é comutativa nem associativa. Portanto, conforme explicado em § Subtração, a construção da divisão na álgebra moderna é descartada em favor da construção dos elementos inversos em relação à multiplicação, conforme introduzido em § Multiplicação. Portanto, a divisão é a multiplicação do dividendo com o recíproco do divisor como fatores, ou seja, a ÷ b = a × 1/b.

Dentro dos números naturais, há também uma noção diferente, mas relacionada, chamada divisão euclidiana, que resulta em dois números após "dividir" um N (numerador) natural por um D (denominador): primeiro um natural Q (quociente) e segundo um natural R (restante) tal que N = D× Q + R e 0 ≤ R < Q.

Em alguns contextos, incluindo programação de computador e aritmética avançada, a divisão é estendida com outra saída para o restante. Isso é frequentemente tratado como uma operação separada, a operação Modulo, denotada pelo símbolo % % {displaystyle %} ou a palavra moD- Sim., embora às vezes uma segunda saída para uma operação "divmod". Em qualquer caso, a aritmética modular tem uma variedade de casos de uso. Diferentes implementações de divisão (floored, truncated, Euclidean, etc.) correspondem com diferentes implementações de módulo.

Teorema fundamental da aritmética

O teorema fundamental da aritmética afirma que qualquer inteiro maior que 1 tem uma única fatoração prima (uma representação de um número como o produto de fatores primos), excluindo a ordem dos fatores. Por exemplo, 252 tem apenas uma fatoração prima:

252 = 2² × 3² × 7¹

Os Elementos de Euclides introduziram pela primeira vez este teorema e deram uma prova parcial (que é chamada de lema de Euclides). O teorema fundamental da aritmética foi provado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss.

O teorema fundamental da aritmética é uma das razões pelas quais 1 não é considerado um número primo. Outras razões incluem o crivo de Eratóstenes e a própria definição de um número primo (um número natural maior que 1 que não pode ser formado pela multiplicação de dois números naturais menores).

Aritmética decimal

Representação decimal refere-se exclusivamente, de uso comum, ao sistema de numeração escrita que emprega algarismos arábicos como dígitos para uma notação posicional de base 10 ("decimal"); no entanto, qualquer sistema numeral baseado em potências de 10, por exemplo, numerais gregos, cirílicos, romanos ou chineses pode ser conceitualmente descrito como "notação decimal" ou "representação decimal".

Métodos modernos para quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) foram concebidos pela primeira vez por Brahmagupta da Índia. Isso era conhecido durante a Europa medieval como "Modus Indorum" ou Método dos índios. A notação posicional (também conhecida como "notação de valor de posição") refere-se à representação ou codificação de números usando o mesmo símbolo para diferentes ordens de grandeza (por exemplo, a "posição das unidades", "dezenas", "centenas") e, com um ponto de raiz, usando esses mesmos símbolos para representar frações (por exemplo, a "décima casa", " 34;centésima casa"). Por exemplo, 507,36 denota 5 centenas (10²), mais 0 dezenas (10¹), mais 7 unidades (10⁰), mais 3 décimas (10⁻¹) mais 6 centésimos (10⁻²).

O conceito de 0 como um número comparável aos outros dígitos básicos é essencial para esta notação, assim como o conceito de uso de 0 como um espaço reservado e como é a definição de multiplicação e adição com 0. O o uso de 0 como um espaço reservado e, portanto, o uso de uma notação posicional é atestado pela primeira vez no texto jainista da Índia intitulado Lokavibhâga, datado de 458 AD e foi somente no início do século XIII que esses conceitos, transmitidos por meio da erudição do mundo árabe, foram introduzidos na Europa por Fibonacci usando o sistema de numeração hindu-arábico.

Algorismo compreende todas as regras para realizar cálculos aritméticos usando este tipo de numeral escrito. Por exemplo, a adição produz a soma de dois números arbitrários. O resultado é calculado pela adição repetida de um dígito de cada número que ocupa a mesma posição, procedendo da direita para a esquerda. Uma tabela de adição com dez linhas e dez colunas exibe todos os valores possíveis para cada soma. Se uma soma individual exceder o valor 9, o resultado será representado com dois dígitos. O dígito mais à direita é o valor para a posição atual, e o resultado da adição subsequente dos dígitos à esquerda aumenta pelo valor do segundo dígito (mais à esquerda), que é sempre um (se não for zero). Esse ajuste é denominado carry do valor 1.

O processo de multiplicação de dois números arbitrários é semelhante ao processo de adição. Uma tabela de multiplicação com dez linhas e dez colunas lista os resultados para cada par de dígitos. Se um produto individual de um par de dígitos exceder 9, o ajuste carry aumentará o resultado de qualquer multiplicação subsequente de dígitos à esquerda por um valor igual ao segundo dígito (mais à esquerda), que é qualquer valor de 1 a 8 (9 × 9 = 81). Etapas adicionais definem o resultado final.

Existem técnicas semelhantes para subtração e divisão.

A criação de um processo correto de multiplicação depende da relação entre valores de dígitos adjacentes. O valor de qualquer dígito único em um numeral depende de sua posição. Além disso, cada posição à esquerda representa um valor dez vezes maior que a posição à direita. Em termos matemáticos, o expoente da raiz (base) de 10 aumenta em 1 (para a esquerda) ou diminui em 1 (para a direita). Portanto, o valor de qualquer dígito arbitrário é multiplicado por um valor da forma 10ⁿ com número inteiro n. A lista de valores correspondentes a todas as posições possíveis para um único dígito é escrita como {..., 10², 10, 1, 10⁻¹, 10⁻²,...}.

A multiplicação repetida de qualquer valor nesta lista por 10 produz outro valor na lista. Na terminologia matemática, essa característica é definida como fechamento, e a lista anterior é descrita como fechada sob multiplicação. É a base para encontrar corretamente os resultados da multiplicação usando a técnica anterior. Este resultado é um exemplo dos usos da teoria dos números.

Aritmética de unidades compostas

A aritmética de unidades compostas é a aplicação de operações aritméticas a quantidades de bases mistas, como pés e polegadas; galões e pintas; libras, xelins e pence; e assim por diante. Antes dos sistemas monetários e unidades de medida baseados em decimais, a aritmética de unidades compostas era amplamente usada no comércio e na indústria.

Operações aritméticas básicas

As técnicas usadas na aritmética de unidades compostas foram desenvolvidas ao longo de muitos séculos e estão bem documentadas em muitos livros didáticos em vários idiomas diferentes. Além das funções aritméticas básicas encontradas na aritmética decimal, a aritmética unitária composta emprega mais três funções:

• Redução, em que uma quantidade composta é reduzida a uma única quantidade — por exemplo, a conversão de uma distância expressa em jardas, pés e polegadas a uma expressa em polegadas.
• Expansão, a função inversa à redução, é a conversão de uma quantidade que é expressa como uma única unidade de medida para uma unidade composta, como expandir 24 oz para 1 lb 8 oz.
• Normalização é a conversão de um conjunto de unidades compostas para uma forma padrão - por exemplo, reescrever "1 ft 13 em"como "2 pés 1 em".

O conhecimento da relação entre as várias unidades de medida, seus múltiplos e seus submúltiplos forma uma parte essencial da aritmética de unidades compostas.

Princípios da aritmética unitária composta

Existem duas abordagens básicas para a aritmética unitária composta:

• Método de redução–expansão onde todas as variáveis de unidade composta são reduzidas a variáveis de unidade única, o cálculo realizado e o resultado expandido de volta para unidades compostas. Esta abordagem é adequada para cálculos automatizados. Um exemplo típico é o manuseio de tempo pelo Microsoft Excel, onde todos os intervalos de tempo são processados internamente como dias e frações decimais de um dia.
• Método de normalização em curso em que cada unidade é tratada separadamente e o problema é continuamente normalizado à medida que a solução se desenvolve. Esta abordagem, que é amplamente descrita em textos clássicos, é mais adequada para cálculos manuais. Um exemplo do método de normalização em curso como aplicado à adição é mostrado abaixo.

A operação de adição é realizada da direita para a esquerda; neste caso, pence são processados primeiro, depois xelins seguidos por libras. Os números abaixo da "linha de resposta" são resultados intermediários.

O total na coluna pence é 25. Como há 12 centavos em um xelim, 25 é dividido por 12 para dar 2 com um resto de 1. O valor "1" é então gravado na linha de resposta e o valor "2" transportado para a coluna de xelins. Essa operação é repetida usando os valores da coluna de xelins, com a etapa adicional de somar o valor que foi transportado da coluna de centavos. O total intermediário é dividido por 20, pois uma libra tem 20 xelins. A coluna de libras é então processada, mas como libras são a maior unidade que está sendo considerada, nenhum valor é transportado da coluna de libras.

Por uma questão de simplicidade, o exemplo escolhido não tinha centavos.

Operações na prática

Uma escala calibrada em unidades imperiais, com um display de custo associado

Durante os séculos 19 e 20, vários auxílios foram desenvolvidos para auxiliar a manipulação de unidades compostas, particularmente em aplicações comerciais. Os auxílios mais comuns eram os arados mecânicos que foram adaptados em países como o Reino Unido para acomodar libras, xelins, pence e farthings, e os ready reckoners, livros destinados aos comerciantes que catalogavam os resultados de vários cálculos de rotina, como porcentagens ou múltiplos de várias somas de dinheiro. Um livreto típico com 150 páginas tabulava múltiplos "de um a dez mil a vários preços de um centavo a uma libra".

A natureza incômoda da aritmética de unidades compostas foi reconhecida por muitos anos - em 1586, o matemático flamengo Simon Stevin publicou um pequeno panfleto chamado De Thiende ("o décimo") em que ele declarou a introdução universal de cunhagem, medidas e pesos decimais como sendo meramente uma questão de tempo. Na era moderna, muitos programas de conversão, como o incluído na calculadora do sistema operacional Microsoft Windows 7, exibem unidades compostas em um formato decimal reduzido em vez de usar um formato expandido (por exemplo, "2,5 pés" é exibido em vez de "2 ft 6 in").

Teoria dos números

Até o século XIX, teoria dos números era sinônimo de "aritmética". Os problemas abordados estavam diretamente relacionados às operações básicas e diziam respeito à primalidade, divisibilidade e à solução de equações em números inteiros, como o Último Teorema de Fermat. Parece que a maioria desses problemas, embora muito elementares para enunciar, são muito difíceis e não podem ser resolvidos sem uma matemática muito profunda envolvendo conceitos e métodos de muitos outros ramos da matemática. Isso levou a novos ramos da teoria dos números, como a teoria analítica dos números, a teoria algébrica dos números, a geometria diofantina e a geometria algébrica aritmética. Wiles' A prova do Último Teorema de Fermat é um exemplo típico da necessidade de métodos sofisticados, que vão muito além dos métodos clássicos da aritmética, para resolver problemas que podem ser enunciados na aritmética elementar.

Aritmética na educação

A educação primária em matemática geralmente coloca um forte foco em algoritmos para a aritmética de números naturais, inteiros, frações e decimais (usando o sistema decimal de valores posicionais). Este estudo às vezes é conhecido como algorismo.

A dificuldade e a aparência desmotivada desses algoritmos há muito levam os educadores a questionar esse currículo, defendendo o ensino precoce de ideias matemáticas mais centrais e intuitivas. Um movimento notável nessa direção foi o New Math dos anos 1960 e 1970, que tentou ensinar aritmética no espírito do desenvolvimento axiomático da teoria dos conjuntos, um eco da tendência predominante na matemática superior.

Além disso, a aritmética foi usada pelos estudiosos islâmicos para ensinar a aplicação das regras relacionadas ao Zakat e ao Irth. Isso foi feito em um livro intitulado O Melhor da Aritmética de Abd-al-Fattah-al-Dumyati. O livro começa com os fundamentos da matemática e prossegue com sua aplicação nos capítulos posteriores.