Álgebra booleana (estrutura)

Em álgebra abstrata, uma álgebra booleana ou rede booleana é uma rede distributiva complementada. Esse tipo de estrutura algébrica captura propriedades essenciais de operações de conjunto e operações lógicas. Uma álgebra booleana pode ser vista como uma generalização de uma álgebra de conjuntos de potência ou um corpo de conjuntos, ou seus elementos podem ser vistos como valores de verdade generalizados. É também um caso especial de álgebra de De Morgan e álgebra de Kleene (com involução).

Toda álgebra booleana dá origem a um anel booleano, e vice-versa, com a multiplicação de anéis correspondendo à conjunção ou encontro ∧, e a adição de anéis à disjunção exclusiva ou diferença simétrica (não à disjunção ∨). No entanto, a teoria dos anéis booleanos tem uma assimetria inerente entre os dois operadores, enquanto os axiomas e teoremas da álgebra booleana expressam a simetria da teoria descrita pelo princípio da dualidade.

Lattice booleano de subconjuntos

História

O termo "álgebra booleana" homenageia George Boole (1815–1864), um matemático inglês autodidata. Ele introduziu o sistema algébrico inicialmente em um pequeno panfleto, The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847 em resposta a uma controvérsia pública entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, As Leis do Pensamento, publicado em 1854. A formulação de Boole difere daquela descrita acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, conjunção e disjunção em Boole não eram um par duplo de operações. A álgebra booleana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce. A primeira apresentação sistemática da álgebra booleana e das redes distributivas deve-se ao Vorlesungen de 1890 de Ernst Schröder. O primeiro tratamento extensivo da álgebra booleana em inglês é A. N. Whitehead's 1898 Universal Algebra. A álgebra booleana como uma estrutura algébrica axiomática no sentido axiomático moderno começa com um artigo de 1904 de Edward V. Huntington. A álgebra booleana atingiu a maioridade como matemática séria com o trabalho de Marshall Stone na década de 1930 e com a Teoria da rede de Garrett Birkhoff em 1940. Na década de 1960, Paul Cohen, Dana Scott e outros encontraram novos resultados profundos em lógica matemática e teoria axiomática dos conjuntos usando ramificações da álgebra booleana, ou seja, forçando e modelos de valor booleano.

Definição

Uma álgebra booleana é um conjunto A, equipado com duas operações binárias ∧ (chamadas "encontrar" ou "e"), ∨ (chamado "juntar" ou "ou"), uma operação unária ¬ (chamada "complemento" ou "não") e duas elementos 0 e 1 em A (chamados "inferior" e "superior", ou "menor" e "maior" elemento, também denotado pelos símbolos ⊥ e ⊤, respectivamente), tal que para todos os elementos a, b e c de A, os seguintes axiomas são válidos:

um ∨ (b) ∨ c) = (um ∨ b)) c	um ∧ (b) ∧ c) = (um ∧ b)) c	associatividade
um ∨ b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b) ∨ um	um ∧ b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b) ∧ um	comutatividade
um ∨ (um ∧ b)) = um	um ∧ (um ∨ b)) = um	absorção
um ∨ 0 = um	um ∧ 1 = um	identidade
um ∨ (b) ∧ c) = (um ∨ b)) ∧ (um ∨ c)	um ∧ (b) ∨ c) = (um ∧ b)) ∨ (um ∧ c)	distribuição
um ?um = 1	um ∧ ¬um = 0	complementos

Observe, no entanto, que a lei de absorção e mesmo a lei de associatividade podem ser excluídas do conjunto de axiomas, pois podem ser derivadas de outros axiomas (consulte Propriedades comprovadas).

Uma álgebra booleana com apenas um elemento é chamada de álgebra booleana trivial ou álgebra booleana degenerada. (Em trabalhos mais antigos, alguns autores exigiam que 0 e 1 fossem elementos distintos para excluir esse caso.)

Resulta dos últimos três pares de axiomas acima (identidade, distributividade e complementos), ou do axioma da absorção, que

um = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b) ∧ um se e somente se um ∨ b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b).

A relação ≤ definida por a ≤ b se essas condições equivalentes forem válidas, é uma ordem parcial com o menor elemento 0 e o maior elemento 1. O encontro a ∧ b e a junção a ∨ b de dois elementos coincidem com seu ínfimo e supremo, respectivamente, em relação a ≤.

Os primeiros quatro pares de axiomas constituem uma definição de rede limitada.

Resulta dos primeiros cinco pares de axiomas que qualquer complemento é único.

O conjunto de axiomas é autodual no sentido de que se alguém trocar ∨ por ∧ e 0 por 1 em um axioma, o resultado é novamente um axioma. Portanto, aplicando esta operação a uma álgebra booleana (ou rede booleana), obtém-se outra álgebra booleana com os mesmos elementos; é chamado de dual.

Exemplos

• A álgebra booleana mais simples, a álgebra booleana de dois elementos, tem apenas dois elementos, 0 e 1, e é definida pelas regras:

• Tem aplicações em lógica, interpretando 0 como falso1 verdadeiro, ∧ as e, ∨ como oue não. Expressões envolvendo variáveis e operações booleanas representam formulários de declaração, e duas dessas expressões podem ser mostradas como iguais usando os axiomas acima se e somente se os formulários de declaração correspondentes forem logicamente equivalentes.

• A álgebra booleana de dois elementos também é usada para design de circuitos em engenharia elétrica; aqui 0 e 1 representam os dois estados diferentes de um bit em um circuito digital, tipicamente alta e baixa tensão. Os circuitos são descritos por expressões contendo variáveis, e duas dessas expressões são iguais para todos os valores das variáveis se e somente se os circuitos correspondentes tiverem o mesmo comportamento de saída de entrada. Além disso, todo possível comportamento de saída de entrada pode ser modelado por uma expressão booleana adequada.

• A álgebra booleana de dois elementos também é importante na teoria geral das álgebras booleanas, porque uma equação envolvendo várias variáveis é geralmente verdadeira em todas as álgebras booleanas se e somente se for verdade na álgebra booleana de dois elementos (que pode ser verificada por um algoritmo de força bruta trivial para pequenos números de variáveis). Isso pode, por exemplo, ser usado para mostrar que as seguintes leis (teoremas de Consenso) são geralmente válidos em todas as álgebras booleanas:
  • (um ∨ b)) ∧ (¬)um ∨ c) ∧ (b) ∨ c) ≡ (um ∨ b)) ∧ (¬)um ∨ c)
  • (um ∧ b)) ∨ (¬um ∧ c) ∨ (b) ∧ c) ≡ (um ∧ b)) ∨ (¬um ∧ c)

• O conjunto de energia (conjunto de todos os subconjuntos) de qualquer conjunto nenhummpty dado S forma uma álgebra booleana, uma álgebra de conjuntos, com as duas operações ∨:= │ (união) e ∧:= recorte (intersecção). O menor elemento 0 é o conjunto vazio e o maior elemento 1 é o conjunto S em si.

• Após a álgebra booleana de dois elementos, a álgebra booleana mais simples é definida pelo conjunto de potência de dois átomos:

• O conjunto ANão. A. de todos os subconjuntos de SNão. S. ou finito ou cofinito é uma álgebra booleana e uma álgebra de conjuntos chamado álgebra finita-cofinita. Se SNão. S. é infinito então o conjunto de todos os subconjuntos cofinitos de S,Não. S, que é chamado de filtro Fréchet, é um ultrafiltro livre em A.Não. A. No entanto, o filtro Fréchet não é um ultrafiltro no conjunto de energia de S.Não. S.
• Começando com o cálculo proposicional com símbolos de frase κ, formam a álgebra de Lindenbaum (isto é, o conjunto de frases na equivalência lógica do modulo de cálculo proposicional). Esta construção produz uma álgebra booleana. É de fato a álgebra booleana livre em geradores de κ. Uma atribuição de verdade no cálculo proposicional é então um homomorfismo de álgebra booleana desta álgebra para a álgebra booleana de dois elementos.
• Dado qualquer conjunto linearmente ordenado L com um menor elemento, a álgebra de intervalo é a menor álgebra de subconjuntos de L contendo todos os intervalos meio abertos [um, b)) tal que um em L e b) ou L ou igual a ∞. Álgebras intervais são úteis no estudo de álgebras de Lindenbaum-Tarski; cada álgebra booleana contável é isomórfica a uma álgebra de intervalo.

diagrama de Hasse da álgebra booleana de divisores de 30.

• Para qualquer número natural n, o conjunto de todos os divisores positivos n, definição um≤ ≤ b)- Sim. se um divide b), forma uma rede de distribuição. Este estágio é uma álgebra booleana se e somente se n é livre de quadrados. O fundo e o elemento superior desta álgebra booleana é o número natural 1 e n, respectivamente. O complemento um é dado por n/um. O encontro e a união de um e b) é dado pelo maior divisor comum (gcd) e o múltiplo menos comum (lcm) de um e b), respectivamente. A adição do anel um+b) é dado por lcm(um,b))um,b)). A imagem mostra um exemplo para n = 30. Como contra-exemplo, considerando o non-square-free n=60, o maior divisor comum de 30 e seu complemento 2 seria 2, enquanto deve ser o elemento inferior 1.
• Outros exemplos de álgebras booleanas surgem de espaços topológicos: se X é um espaço topológico, então a coleção de todos os subconjuntos de X que são ambos formulários abertos e fechados uma álgebra booleana com as operações ∨:= ∪ (union) e ∧:= ‡ (intersecção).
• Se RNão. R. é um anel arbitrário, em seguida, seu conjunto de idempotentes centrais, que é o conjunto
  A= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(e∈ ∈ R:e2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eeex= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =xepara todosx∈ ∈ R?,{displaystyle A=left{ein R:e^{2}=e{text{ and }}ex=xe;{text{ for all }};xin Rright},}

  
  se torna uma álgebra booleana quando suas operações são definidas por e∨ ∨ f?e+f- Sim. - Sim. ef- Sim. e e∧ ∧ f?ef.{displaystyle ewedge f:=ef.}

Homomorfismos e isomorfismos

Um homomorfismo entre duas álgebras booleanas A e B é uma função f: A → B tal que para todo a, b em A:

f(um ∨ b)) = f(um) f(b)),

f(um ∧ b)) = f(um) f(b)),

f(0) = 0,

f(1) = 1.

Segue então que f(¬a) = ¬f(a) para todo a em A. A classe de todas as álgebras booleanas, juntamente com esta noção de morfismo, forma uma subcategoria completa da categoria de reticulados.

Um isomorfismo entre duas álgebras booleanas A e B é um homomorfismo f: A → B com um homomorfismo inverso, ou seja, um homomorfismo g: B → A tal que a composição g ∘ f: A → A é a função de identidade em A, e a composição f ∘ g: B → B é a função de identidade em B. Um homomorfismo de álgebras booleanas é um isomorfismo se e somente se for bijetivo.

Anéis booleanos

Toda álgebra booleana (A, ∧, ∨) dá origem a um anel (A, +, ·) definindo a + b:= (a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ ¬a) = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b) (esta operação é chamada de diferença simétrica em no caso de conjuntos e XOR no caso de lógica) e a · b:= a ∧ b. O elemento zero desse anel coincide com o 0 da álgebra booleana; o elemento de identidade multiplicativa do anel é o 1 da álgebra booleana. Este anel tem a propriedade que a · a = a para todo a em A; anéis com esta propriedade são chamados de anéis booleanos.

Por outro lado, se um anel booleano A for fornecido, podemos transformá-lo em uma álgebra booleana definindo x ∨ y:= x + y + (x · y) e x ∧ y := x · y. Como essas duas construções são inversas uma da outra, podemos dizer que todo anel booleano surge de uma álgebra booleana e vice-versa. Além disso, um mapa f: A → B é um homomorfismo de álgebras booleanas se e somente se for um homomorfismo de anéis booleanos. As categorias de anéis booleanos e álgebras booleanas são equivalentes.

Hsiang (1985) forneceu um algoritmo baseado em regras para verificar se duas expressões arbitrárias denotam o mesmo valor em cada anel booleano. De forma mais geral, Boudet, Jouannaud e Schmidt-Schauß (1989) forneceram um algoritmo para resolver equações entre expressões arbitrárias de anéis booleanos. Empregando a similaridade de anéis booleanos e álgebras booleanas, ambos os algoritmos têm aplicações em prova automática de teoremas.

Ideais e filtros

Um ideal da álgebra booleana A é um subconjunto I tal que para todo x, y em I temos x ∨ y em I e para todo a em A temos a ∧ x em I. Esta noção de ideal coincide com a noção de anel ideal no anel booleano A. Um I ideal de A é dito primo se I ≠ A e se a ∧ b em I sempre implica a em I ou b em I. Além disso, para cada a ∈ A temos que a ∧ -a = 0 ∈ I e então a ∈ I ou -a ∈ I para cada a ∈ A, se I for primo. Um I ideal de A é dito máximo se I ≠ A e se o o único ideal que contém adequadamente I é o próprio A. Para um I ideal, se a ∉ I e -a ∉ I, então I ∪ {a} ou I ∪ {-a} está apropriadamente contido em outro ideal J. Portanto, um I não é maximal e, portanto, as noções de ideal primo e ideal maximal são equivalentes em álgebras booleanas. Além disso, essas noções coincidem com as da teoria dos anéis de ideal primo e ideal maximal no anel booleano A.

O dual de um ideal é um filtro. Um filtro da álgebra booleana A é um subconjunto p tal que para todo x, y em p temos x ∧ y em p e para todo a em A temos a ∨ x em p. O dual de um máximo (ou primo) ideal em uma álgebra booleana é ultrafiltro. Os ultrafiltros podem alternativamente ser descritos como morfismos de 2 valores de A para a álgebra booleana de dois elementos. A afirmação todo filtro em uma álgebra booleana pode ser estendida para um ultrafiltro é chamada de Teorema do Ultrafiltro e não pode ser provada em ZF, se ZF for consistente. Dentro do ZF, é estritamente mais fraco que o axioma da escolha. O Teorema do Ultrafiltro tem muitas formulações equivalentes: toda álgebra booleana tem um ultrafiltro, todo ideal em uma álgebra booleana pode ser estendido a um ideal primo, etc.

Representações

Pode ser mostrado que toda álgebra booleana finita é isomórfica à álgebra booleana de todos os subconjuntos de um conjunto finito. Portanto, o número de elementos de cada álgebra booleana finita é uma potência de dois.

O célebre teorema de representação de Stone para álgebras booleanas afirma que toda álgebra booleana A é isomórfica à álgebra booleana de todos os clopen conjuntos em algum (compacto Hausdorff totalmente desconectado) espaço topológico.

Axiomática

A primeira axiomatização de redes/álgebras booleanas em geral foi dada pelo filósofo e matemático inglês Alfred North Whitehead em 1898. Incluía os axiomas acima e adicionalmente x∨1=1 e x∧0=0. Em 1904, o matemático americano Edward V. Huntington (1874–1952) forneceu provavelmente a axiomatização mais parcimoniosa baseada em ∧, ∨, ¬, provando até mesmo as leis de associatividade (ver caixa). Ele também provou que esses axiomas são independentes uns dos outros. Em 1933, Huntington estabeleceu a seguinte axiomatização elegante para a álgebra booleana. Requer apenas uma operação binária + e um símbolo funcional unário n, para ser lido como 'complemento', que satisfazem as seguintes leis:

1. Comutação: x + Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Sim. + x.
2. Associação:x + Sim.) + zangão. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x +Sim. + zangão.).
3. Equação de Huntington: n(n(x) + Sim.) + n(n(x) + n(Sim.) = x.

Herbert Robbins imediatamente perguntou: Se a equação de Huntington for substituída por sua dual, a saber:

4. Equação de Robbins: n(n(x + Sim.) + n(x + n(Sim.) x,

(1), (2) e (4) formam uma base para a álgebra booleana? Chamando (1), (2) e (4) uma álgebra de Robbins, a questão então se torna: toda álgebra de Robbins é uma álgebra booleana? Essa questão (que veio a ser conhecida como a conjectura de Robbins) permaneceu em aberto por décadas e se tornou uma das perguntas favoritas de Alfred Tarski e seus alunos. Em 1996, William McCune, do Argonne National Laboratory, com base em trabalhos anteriores de Larry Wos, Steve Winker e Bob Veroff, respondeu afirmativamente à pergunta de Robbins: toda álgebra de Robbins é uma álgebra booleana. Crucial para a prova de McCune foi o programa de computador EQP que ele projetou. Para uma simplificação da prova de McCune, veja Dahn (1998).

Mais trabalho foi feito para reduzir o número de axiomas; veja Axiomas mínimos para álgebra booleana.

Generalizações

A remoção do requisito de existência de uma unidade dos axiomas da álgebra booleana produz "álgebras booleanas generalizadas". Formalmente, uma rede distributiva B é uma rede booleana generalizada, se tiver um menor elemento 0 e para quaisquer elementos a e b em B tal que a ≤ b, existe um elemento x tal que a ∧ x = 0 e a ∨ x = b. Definindo a ∖ b como o único x tal que (a ∧ b) ∨ x = a e (a ∧ b) ∧ x = 0, dizemos que a estrutura (B,∧,∨,∖,0) é uma álgebra booleana generalizada, enquanto (B,∨,0) é uma semilattice booleana generalizada. As redes booleanas generalizadas são exatamente os ideais das redes booleanas.

Uma estrutura que satisfaz todos os axiomas das álgebras booleanas, exceto os dois axiomas de distributividade, é chamada de rede ortocomplementada. Redes ortocomplementadas surgem naturalmente na lógica quântica como redes de subespaços fechados para espaços de Hilbert separáveis.