Álgebra associativa

Em matemática, uma álgebra associativa A é uma estrutura algébrica com operações compatíveis de adição, multiplicação (assumida como associativa) e uma multiplicação escalar por elementos em alguns campo K. As operações de adição e multiplicação juntas dão a A a estrutura de um anel; as operações de adição e multiplicação escalar juntas dão a A a estrutura de um espaço vetorial sobre K. Neste artigo também usaremos o termo K-álgebra para significar uma álgebra associativa sobre o corpo K. Um primeiro exemplo padrão de uma álgebra K é um anel de matrizes quadradas sobre um corpo K, com a multiplicação usual de matrizes.

Uma álgebra comutativa é uma álgebra associativa que tem uma multiplicação comutativa, ou, equivalentemente, uma álgebra associativa que também é um anel comutativo.

Neste artigo, assume-se que as álgebras associativas têm uma identidade multiplicativa, denotada por 1; eles são às vezes chamados de álgebras associativas unitárias para esclarecimento. Em algumas áreas da matemática, essa suposição não é feita e chamaremos essas estruturas de álgebras associativas não unitárias. Também assumiremos que todos os anéis são unitários e todos os homomorfismos de anéis são unitários.

Muitos autores consideram o conceito mais geral de uma álgebra associativa sobre um anel comutativo R, em vez de um corpo: Uma R-álgebra é um R-módulo com uma operação binária R-bilinear associativa, que também contém uma identidade multiplicativa. Para exemplos deste conceito, se S é qualquer anel com centro C, então S é um C associativo - álgebra.

Definição

Seja R um anel comutativo (então R pode ser um corpo). Uma álgebra R associativa (ou mais simplesmente, uma R-álgebra) é um anel que também é um módulo R de tal forma que as duas adições (a adição do anel e a adição do módulo) são a mesma operação, e a multiplicação escalar satisfaz

R)) (xSim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(R)) x)Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x(R)) Sim.){displaystyle rcdot (xy)=(rcdot x)y=x(rcdot y)}

para todo r em R e x, y na álgebra. (Essa definição implica que a álgebra é unitária, já que os anéis devem ter uma identidade multiplicativa.)

Equivalentemente, uma álgebra associativa A é um anel junto com um homomorfismo de anel R ao centro de A. Se f é tal homomorfismo, a multiplicação escalar é (R,x)↦ ↦ f(R)x(r,x)mapsto f(r)x} (aqui a multiplicação é a multiplicação do anel); se a multiplicação escalar é dada, o homomorfismo do anel é dado por R↦ ↦ R)) 1A{displaystyle rmapsto rcdot 1_{A}} (Ver também § De homomorfismos do anel abaixo).

Cada anel é um associativo Z.{displaystyle mathbb {Z} } }- Álgebra, onde Z.{displaystyle mathbb {Z} } } denota o anel dos inteiros.

A álgebra comutativa é uma álgebra associativa que também é um anel comutativo.

Como um objeto monoid na categoria de módulos

A definição é equivalente a dizer que uma R-álgebra associativa unitária é um objeto monóide em R-Mod (a categoria monoidal dos módulos R). Por definição, um anel é um objeto monóide na categoria de grupos abelianos; assim, a noção de álgebra associativa é obtida substituindo a categoria de grupos abelianos pela categoria de módulos.

Indo além dessa ideia, alguns autores introduziram um "anel generalizado" como um objeto monóide em alguma outra categoria que se comporta como a categoria de módulos. De fato, esta reinterpretação permite evitar fazer referência explícita a elementos de uma álgebra A. Por exemplo, a associatividade pode ser expressa da seguinte forma. Pela propriedade universal de um produto tensorial de módulos, a multiplicação (o mapa R-bilinear) corresponde a um único mapa R-linear

m:A⭐ ⭐ RA→ → A{displaystyle m:Aotimes _{R}Ato A}.

A associatividade então se refere à identidade:

m∘ ∘ (I⭐ ⭐ m)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =m∘ ∘ (m⭐ ⭐ I).{displaystyle mcirc ({operatorname {id} }otimes m)=mcirc (motimes operatorname {id}). ?

De homomorfismos de anéis

Uma álgebra associativa equivale a um homomorfismo anelar cuja imagem está no centro. Na verdade, começando com um anel A e um homomorfismo de anel ? ? :: R→ → A{displaystyle eta colon Rto A} cuja imagem está no centro de APodemos fazer A um R-algebra definindo

R)) x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? (R)x{displaystyle rcdot x=eta (r)x}

para todos R ∈ R e x ∈ A. Se A é um R- Álgebra, tomar x = 1, a mesma fórmula por sua vez define um homomorfismo de anel ? ? :: R→ → A{displaystyle eta colon Rto A} cuja imagem está no centro.

Se um anel é comutativo, então é igual ao seu centro, de modo que um comutativo R-algebra pode ser definida simplesmente como um anel comutativo A junto com um homomorfismo de anel comutativo ? ? :: R→ → A{displaystyle eta colon Rto A}.

O homomorfismo de anel η que aparece acima é geralmente chamado de mapa de estrutura. No caso comutativo, pode-se considerar a categoria cujos objetos são homomorfismos de anéis R → A; isto é, álgebras R comutativas e cujos morfismos são homomorfismos de anel A → A' que estão sob R; ou seja, R → A → A' é R → A' (ou seja, a categoria coslice da categoria de anéis comutativos sob R.) O funtor de espectro principal Spec então determina uma antiequivalência desta categoria para a categoria de esquemas afins sobre Spec R.

Como enfraquecer a suposição de comutatividade é um assunto da geometria algébrica não comutativa e, mais recentemente, da geometria algébrica derivada. Veja também: anel de matriz genérico.

Homomorfismos de álgebra

Um homomorfismo entre dois R-algebras é um homomorfismo de anel linear R. Provavelmente, φ φ :A1→ → A2{displaystyle varphi:A_{1}to A_{2}} é um homomorfismo de álgebra associativa se

φ φ (R)) x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =R)) φ φ (x)φ φ (x+Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ (x)+φ φ (Sim.)φ φ (xSim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ (x)φ φ (Sim.)φ φ (1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle {begin{aligned}varphi (rcdot x)&=rcdot varphi (x)varphi (x+y)&=varphi (x)+varphi (y)\varphi (xy)&=varphi (x)varphi (y)varphi (1)&=1end{aligned}}}}

A classe de todas as R-álgebras junto com os homomorfismos algébricos entre elas formam uma categoria, às vezes denotada como R-Alg.

A subcategoria das álgebras R comutativas pode ser caracterizada como a categoria coslice R/CRing onde CRing é a categoria dos anéis comutativos.

Exemplos

O exemplo mais básico é o próprio anel; é uma álgebra sobre seu centro ou qualquer subanel situado no centro. Em particular, qualquer anel comutativo é uma álgebra sobre qualquer um de seus subanéis. Outros exemplos são abundantes, tanto da álgebra quanto de outros campos da matemática.

Álgebra

• Qualquer anel A pode ser considerado como um Z.- Álgebra. O homomorfismo do anel único Z. para A é determinado pelo fato de que ele deve enviar 1 para a identidade em A. Portanto, anéis e Z.- as álgebras são conceitos equivalentes, da mesma forma que os grupos abelianos e Z.- Os módulos são equivalentes.
• Qualquer anel de característica n é um (Z./nZ.)-algebra da mesma forma.
• Dado um R- Módulo M, o anel de endomorfismo de M, denotado Fim_R(M) é um R-algebra por definição (R· φ)(x) = R· φ(x).
• Qualquer anel de matrizes com coeficientes em um anel comutativo R formulários R-algebra sob adição de matriz e multiplicação. Isso coincide com o exemplo anterior quando M é uma fonte finita, livre R- módulo.
  • Em particular, o quadrado n- por...n matrizes com entradas do campo KK formar uma álgebra associativa sobre KK.
• Os números complexos formam uma álgebra comutativa 2-dimensional sobre os números reais.
• Os quaternions formam uma álgebra associativa 4-dimensional sobre os reais (mas não uma álgebra sobre os números complexos, uma vez que os números complexos não estão no centro das quaternions).
• Os polinômios com coeficientes reais formam uma álgebra comutativa sobre os reais.
• Cada anel polinomial RNão.x₁, x_n] é um comutativo R- Álgebra. Na verdade, este é o livre comutativo R- álgebra no conjunto {x₁, x_n}
• O R-algebra livre em um conjunto E é uma álgebra de "polinomiais" com coeficientes em R e sem deslocamento indeterminados retirados do conjunto E.
• A álgebra tensor de um R-módulo é naturalmente um associativo R- Álgebra. O mesmo é verdadeiro para quocientes como as álgebras exteriores e simétricas. Categoricamente falando, o funtor que mapeia um R-módulo para sua álgebra tensor é deixado unido ao funtor que envia um R- álgebra à sua base R-módulo (esquecendo a estrutura multiplicativa).
• O anel seguinte é usado na teoria dos anéis λ. Dado um anel comutativo A, let G(A)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1+)ANão.Não.)]],{displaystyle G(A)=1+tA[![t]!],} o conjunto de séries de poder formal com termo constante 1. É um grupo abeliano com a operação do grupo que é a multiplicação da série de poder. É então um anel com a multiplicação, denotado por ∘ ∘ - Sim., tal que (1+um))∘ ∘ (1+b)))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1+umb)),(1+at)circ (1+bt)=1+abt,} determinado por esta condição e os axiomas do anel. A identidade aditiva é 1 e a identidade multiplicativa é 1+)Não. 1+t.. Então... ANão. A. tem uma estrutura canônica de uma G(A)(A)}-algebra dada pelo homomorfismo do anel
  0}a_{i}t^{i}mapsto a_{1}end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">(G(A)→ → A1+Gerenciamento Gerenciamento Eu...>0umEu...)Eu...↦ ↦ um1{displaystyle {begin{cases}G(A)to A\1+sum _{i>0}a_{i}t^{i}mapsto a_{1}end{cases}}}

  0}a_{i}t^{i}mapsto a_{1}end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee81a011f11d6423120638a84047505a62b119c8" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.805ex; height:6.176ex;"/>
  Por outro lado, se A é um anel λ, então há um homomorfismo de anel
  0}lambda ^{i}(a)t^{i}end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">(A→ → G(A)um↦ ↦ 1+Gerenciamento Gerenciamento Eu...>0λ λ Eu...(um))Eu...{displaystyle {begin{cases}Ato G(A)amapsto 1+sum _{i>0}lambda ^{i}(a)t^{i}end{cases}}}

  0}lambda ^{i}(a)t^{i}end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ac827e281efc53b88b0602c7ad64a96d5036c7" style="vertical-align: -2.505ex; width:23.916ex; height:6.176ex;"/>
  dando de dar G(A)(A)} uma estrutura de um A- Álgebra.
• Dado um módulo M sobre um anel comutativo R, a soma direta dos módulos R⊕ ⊕ MNão. Roplus M} tem uma estrutura de um R-algebra por pensar M consiste em elementos infinitesimais; isto é, a multiplicação é dada como (um+x)(b)+Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umb)+umSim.+b)x.(a+x)(b+y)=ab+ay+bx.} A noção é por vezes chamada de álgebra de números duplos.

Teoria da representação

• A álgebra universal envolvente de uma álgebra de Lie é uma álgebra associativa que pode ser usada para estudar a álgebra de Lie dada.
• Se G é um grupo e R é um anel comutativo, o conjunto de todas as funções G para R com suporte finito formar um R-algebra com a convolução como multiplicação. É chamado de álgebra de grupo de G. A construção é o ponto de partida para a aplicação ao estudo de grupos (discreto).
• Se G é um grupo algébrica (por exemplo, grupo de Lie complexo semisimple), então o anel de coordenadas G é a álgebra de Hopf A correspondente a G. Muitas estruturas G traduzir para os de A.
• Uma álgebra de quiver (ou uma álgebra de caminho) de um gráfico direcionado é a álgebra associativa livre sobre um campo gerado pelos caminhos no gráfico.

Análise

• Dado qualquer espaço Banach X, os operadores lineares contínuos A: X → X formar uma álgebra associativa (usando a composição dos operadores como multiplicação); esta é uma álgebra de Banach.
• Dado qualquer espaço topológico X, as funções reais ou complexas contínuas X formar uma álgebra associativa real ou complexa; aqui as funções são adicionadas e multiplicadas pontualmente.
• O conjunto de semimartingales definido no espaço de probabilidade filtrado (Ω,F,F₎)_{)≥ 0}, P) forma um anel de integração estocástica.
• A álgebra de Weyl
• Uma álgebra de Azumaya

Geometria e combinatória

• As álgebras de Clifford, que são úteis em geometria e física.
• Álgebras de incidência de conjuntos parcialmente ordenados locais são álgebras associativas consideradas em combinatória.
• A álgebra de partição e suas subalgebras, incluindo a álgebra de Brauer e a álgebra de Temperley-Lieb.

Física matemática

• Uma álgebra de Poisson é uma álgebra associativa comutativa sobre um campo junto com uma estrutura de uma álgebra de Lie para que o suporte de Lie (,?{displaystyle {,}} satisfaz a regra de Leibniz; ou seja, (fg,h?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(g,h?+g(f,h?{displaystyle {fg,h}=f{g,h}+g{f,h}}.
• Dada uma álgebra de Poisson um{displaystyle {mathfrak {a}}}, considerar o espaço vetorial umNão.Não.u]]{displaystyle {mathfrak {a}}[![u]!]} de série de poder formal sobre um{displaystyle {mathfrak {a}}}. Se umNão.Não.u]]{displaystyle {mathfrak {a}}[![u]!]} tem uma estrutura de uma álgebra associativa com multiplicação ∗ ∗ Não. tal que, para f,g∈ ∈ um{displaystyle f,gin {mathfrak {a}}},

f∗ ∗ g= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =fg- Sim. - Sim. 12(f,g?u+⋯ ⋯ Não. {1}{2}}{f,g}u+cdots },

então umNão.Não.u]]{displaystyle {mathfrak {a}}[![u]!]} é chamado de quantização de deformação um{displaystyle {mathfrak {a}}}.

• Uma álgebra enveloping quantificada. A dupla de tal álgebra parece ser uma álgebra associativa (ver § Dual de uma álgebra assocativa) e é, filosóficamente falando, o anel de coordenada (quantizado) de um grupo quântico.
• Álgebra de Gerstenhaber

Construções

Subalgebras

Uma subalgebra de uma R- Álcool A é um subconjunto de A que é tanto um subring e um submódulo de A. Isto é, deve ser fechado sob adição, multiplicação do anel, multiplicação escalar, e deve conter o elemento de identidade de A.

Álgebras contingentes

Vamos. A ser um R- Álgebra. Qualquer ideal teórico do anel Eu... em A é automaticamente um R- módulos desde R·x Não.R1_A)x. Isso dá o anel quociente A/Eu... a estrutura de um R-módulo e, na verdade, um R- Álgebra. Segue-se que qualquer imagem homomórfica do anel A é também um R- Álgebra.

Produtos directos

O produto direto de uma família de R-Algébras é o produto direto teórico do anel. Isto torna-se um R-algebra com a multiplicação escalar óbvia.

Produtos gratuitos

Pode-se formar um produto livre de R-algebras de uma forma semelhante ao produto livre de grupos. O produto livre é o coproduto na categoria de R- Álgebras.

Produtos tensores

O produto tensor de dois R-algebras também é um R- Algébra de forma natural. Veja o produto tensor de álgebras para mais detalhes. Dado um anel comutativo R e qualquer anel A o produto tensor R⭐_Z.A pode ser dada a estrutura de um R-algebra definindo R·S⭐um) = (rs⭐um). O funtor que envia A para R⭐_Z.A é deixado junto ao funtor que envia um R-algebra ao seu anel subjacente (esquecendo a estrutura do módulo). Veja também: Mudança de anéis.

Dual de uma álgebra associativa

Seja A uma álgebra associativa sobre um anel comutativo R. Uma vez que A é em particular um módulo, podemos tomar o módulo dual A^* de A. A priori, o dual A^* não precisa ter uma estrutura de álgebra associativa. No entanto, A pode vir com uma estrutura extra (ou seja, a de uma álgebra de Hopf) de modo que o dual também seja uma álgebra associativa.

Por exemplo, tome A para ser o anel de funções contínuas em um grupo compacto G. Então, não só A é uma álgebra associativa, mas também vem com a co-multiplicação ? ? (f)(g,h)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(gh)(f)(g,h)=f(gh)} e co-unidade ε ε (f)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(1)(f)=f(1)}. O "co-" refere-se ao fato de que satisfazem o dual da multiplicação habitual e unidade no axioma da álgebra. Assim, o dual A∗ ∗ Não. A^{*}} é uma álgebra associativa. A co-multiplicação e a co-unidade também são importantes para formar um produto tensor de representações de álgebras associativas (ver § Representações abaixo).

Álgebra envolvente

Dada uma álgebra associativa A sobre um anel comutativo R, o algebra enveloping de A é a álgebra A⭐ ⭐ RAop{displaystyle Aotimes _{R}A^{op}} ou Aop⭐ ⭐ RANão. A^{op}otimes _{R}A}, dependendo de uma convenção.

Álgebra separável

Vamos. A ser uma álgebra sobre um anel comutativo R. Então a álgebra A é um módulo direito sobre Ae?Aop⭐ ⭐ RANão. A^{e}:=A^{op}otimes _{R}A} com a ação x)) (um⭐ ⭐ b))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umxb){displaystyle xcdot (aotimes b)=axb}. Então, por definição, A é dito para separável se o mapa da multiplicação A⭐ ⭐ RA→ → A,x⭐ ⭐ Sim.↦ ↦ xSim.{displaystyle Aotimes _{R}Ato A,,xotimes ymapsto xy} se divide como um AeNão. A^{e}}- mapa linear, onde A⭐ ⭐ AA} é um AeNão. A^{e}}- módulo por (x⭐ ⭐ Sim.))) (um⭐ ⭐ b))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umx⭐ ⭐ Sim.b)(xotimes y)cdot (aotimes b)=axotimes yb}. Equivalentemente, ANão. A. é separável se for um módulo projetivo sobre AeNão. A^{e}}; assim, o AeNão. A^{e}}- dimensão projetiva de A, às vezes chamado de bidimensional de A, mede a falha da separação.

Álgebra de dimensão finita

Seja A uma álgebra de dimensão finita sobre um corpo k. Então A é um anel Artiniano.

Caso comutativo

Como A é Artiniano, se for comutativo, então é um produto finito de anéis locais Artinianos cujos campos residuais são álgebras sobre o corpo base k. Agora, um anel local Artiniano reduzido é um corpo e, portanto, os seguintes são equivalentes

1. ANão. A. é separável.
2. A⭐ ⭐ k? ? Não. Aotimes {overline {k}}} é reduzido, onde k? ? {displaystyle {overline {k}}} é algum fechamento algébrica de k.
3. A⭐ ⭐ k? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =k? ? nNão. Aotimes {overline {k}}={overline {k}}^{n}} para alguns n.
4. Não.k⁡ ⁡ A{displaystyle dim _{k}A}} é o número de kNão.- homomorfismos de álgebra A→ → k? ? Não. Ato {overline {k}}}.

Caso não comutativo

Uma vez que um anel Artiniano simples é um anel de matriz (full) sobre um anel de divisão, se A é uma álgebra simples, então A é uma álgebra matriz (full) sobre uma álgebra de divisão D sobre k; i.e., A= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Mn(D)(D)}. Mais geralmente, se A é uma álgebra semisimple, então é um produto finito de álgebras de matriz (sobre várias divisões k-algebras), o fato conhecido como o teorema de Artin-Wedderburn.

O fato de A ser Artiniano simplifica a noção de um radical de Jacobson; para um anel Artiniano, o radical de Jacobson de A é a interseção de todos os ideais maximais (bilaterais) (em contraste, em geral, um radical de Jacobson é a interseção de todos os ideais maximais à esquerda ou a interseção de todos os ideais maximais corretos.)

O Teorema principal de Wedderburn estados: para uma álgebra finito-dimensional A com um ideal nilpotent Eu..., se a dimensão projetiva de A/Eu...A/I como um módulo sobre a álgebra envolvente (A/Eu...)e(A/I)^{e}} é no máximo um, então a surjeção natural p:A→ → A/Eu...{displaystyle p:Ato A/I} divide; i.e., ANão. A. contém uma subalgebra BNão. tal que p|B:B→ → ∼ ∼ A/Eu...Não. p|_{B}:B{overset {sim }{to }}A/I} é um isomorfismo. Tomar Eu... para ser o radical Jacobson, o teorema diz em particular que o radical Jacobson é complementado por uma álgebra semisimple. O teorema é um análogo do teorema de Levi para álgebras de Lie.

Reticências e ordens

Vamos. R ser um domínio integral noetherian com campo de frações KK (por exemplo, eles podem ser Z.,Q{displaystyle mathbb {Z}mathbb} Não.). A Trenós L em uma dimensão finita KK- Espaço de receptor V é uma geração finita R-submódulo de V que se estende V; em outras palavras, L⭐ ⭐ RKK= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =V{displaystyle Lotimes _{R}K=V.

Vamos. AKKNão. A_{K}} ser uma dimensão finita KK- Álgebra. Um ordem em AKKNão. A_{K}} é um R-subalgebra que é uma treliça. Em geral, há muito menos ordens do que treliças; por exemplo, 12Z.Não. {1 over 2}mathbb Não. é um estágio em Q{displaystyle mathbb {Q} } } mas não uma ordem (uma vez que não é uma álgebra).

Uma ordem máxima é uma ordem máxima entre todas as ordens.

Conceitos relacionados

Coálgebras

Uma álgebra associativa sobre K é dada por um espaço vetorial K A dotado de um mapa bilinear A × A → A com duas entradas (multiplicador e multiplicando) e uma saída (produto), bem como um morfismo K → A identificando os múltiplos escalares da identidade multiplicativa. Se o mapa bilinear A × A → A for reinterpretado como um mapa linear (ou seja, morfismo na categoria de Kespaços vetoriais) A ⊗ A → A (pela propriedade universal do produto tensorial), então podemos visualizar uma álgebra associativa sobre K como um espaço vetorial K A dotado de dois morfismos (um da forma A ⊗ A → A e um da forma K → A) satisfazendo certas condições que se resumem aos axiomas da álgebra. Esses dois morfismos podem ser dualizados usando a dualidade categorial, invertendo todas as setas nos diagramas comutativos que descrevem os axiomas da álgebra; isso define a estrutura de uma coálgebra.

Existe também uma noção abstrata de F-coálgebra, onde F é um funtor. Isso está vagamente relacionado com a noção de coálgebra discutida acima.

Representações

Uma representação de uma álgebra A é um homomorfismo de álgebra ρ: A → End(V) de A à álgebra de endomorfismo de algum espaço vetorial (ou módulo) V. A propriedade de ρ ser um homomorfismo algébrico significa que ρ preserva a operação multiplicativa (ou seja, ρ(xy) = ρ(x)ρ(y) para todo x e y em A), e que ρ envia a unidade de A para a unidade de End(V ) (ou seja, ao endomorfismo de identidade de V).

Se A e B são duas álgebras, e ?: A → Fim (V) e ?: B → Fim (W) são duas representações, então há uma representação (canônica) A ⭐ ⭐ {displaystyle otimes } B → Fim (V ⭐ ⭐ {displaystyle otimes } W) da álgebra do produto tensor A ⭐ ⭐ {displaystyle otimes } B no espaço vetorial V ⭐ ⭐ {displaystyle otimes } W. No entanto, não há nenhuma maneira natural de definir um produto tensor de duas representações de uma única álgebra associativa de tal forma que o resultado é ainda uma representação dessa mesma álgebra (não de seu produto tensor com si mesmo), sem de alguma forma impor condições adicionais. Aqui, produto tensor de representações, o significado habitual destina-se: o resultado deve ser uma representação linear da mesma álgebra no espaço vetorial do produto. Impossar tal estrutura adicional normalmente leva à ideia de uma álgebra de Hopf ou uma álgebra de Lie, como demonstrado abaixo.

Motivação para uma álgebra de Hopf

Considere, por exemplo, duas representações σ σ :A→ → EnD(V){displaystyle sigma:Arightarrow mathrm {End} (V)} e ? ? :A→ → EnD(W){displaystyle tau:Arightarrow mathrm {End} (W)}. Pode-se tentar formar uma representação de produto tensor ? ? :x↦ ↦ σ σ (x)⭐ ⭐ ? ? (x){displaystyle rho:xmapsto sigma (x)otimes tau (x)} de acordo com como ele atua no espaço vetorial do produto, de modo que

? ? (x)(v⭐ ⭐ O quê?)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(σ σ (x)(v))⭐ ⭐ (? ? (x)(O quê?)).{displaystyle rho (x)(votimes w)=(sigma (x)(v)))otimes (tau (x)(w)). ?

No entanto, tal mapa não seria linear, pois teria

? ? (kx)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ (kx)⭐ ⭐ ? ? (kx)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =kσ σ (x)⭐ ⭐ k? ? (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =k2(σ σ (x)⭐ ⭐ ? ? (x))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =k2? ? (x){displaystyle rho (kx)=sigma (kx)otimes tau (kx)=ksigma (x)otimes ktau (x)=k^{2}(sigma (x)otimes tau (x))=k^{2}rho (x)}

para k ∈ K. Pode-se resgatar essa tentativa e restaurar a linearidade impondo uma estrutura adicional, definindo um homomorfismo algébrico Δ: A → A ⊗ A e definindo o representação do produto tensorial como

? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(σ σ ⭐ ⭐ ? ? )∘ ∘ ? ? .{displaystyle rho =(sigma otimes tau)circ Delta.}

Tal homomorfismo Δ é chamado de comultiplicação se satisfaz certos axiomas. A estrutura resultante é chamada de biálgebra. Para ser consistente com as definições da álgebra associativa, a coálgebra deve ser co-associativa e, se a álgebra for unitária, a co-álgebra também deve ser co-unitária. Uma álgebra de Hopf é uma biálgebra com uma peça adicional de estrutura (o chamado antípoda), que permite não só definir o produto tensorial de duas representações, mas também o módulo Hom de duas representações (novamente, de forma semelhante a como é feito na teoria da representação de grupos).

Motivação para uma álgebra de Lie

Pode-se tentar ser mais inteligente na definição de um produto tensorial. Considere, por exemplo,

x↦ ↦ ? ? (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ (x)⭐ ⭐ I.W+I.V⭐ ⭐ ? ? (x){displaystyle xmapsto rho (x)=sigma (x)otimes {mbox{Id}}_{W}+{mbox{Id}}_{V}otimes tau (x)}

de modo que a ação no espaço do produto tensorial é dada por

? ? (x)(v⭐ ⭐ O quê?)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(σ σ (x)v)⭐ ⭐ O quê?+v⭐ ⭐ (? ? (x)O quê?)(x)(votimes w)=(sigma (x)v)otimes w+votimes (tau (x)w)}.

Este mapa é claramente linear em x e, portanto, não apresenta o problema da definição anterior. No entanto, ele falha em preservar a multiplicação:

? ? (xSim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ (x)σ σ (Sim.)⭐ ⭐ I.W+I.V⭐ ⭐ ? ? (x)? ? (Sim.){displaystyle rho (xy)=sigma (x)sigma (y)otimes {mbox{Id}}_{W}+{mbox{Id}}_{V}otimes tau (x)tau (y)}.

Mas, em geral, isso não é igual

? ? (x)? ? (Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ (x)σ σ (Sim.)⭐ ⭐ I.W+σ σ (x)⭐ ⭐ ? ? (Sim.)+σ σ (Sim.)⭐ ⭐ ? ? (x)+I.V⭐ ⭐ ? ? (x)? ? (Sim.){displaystyle rho (x)rho (y)=sigma (x)sigma (y)otimes {mbox{Id}}_{W}+sigma (x)otimes tau (y)+sigma (y)otimes tau (x)+{mbox{Id}}_{V}otimes tau (x)tau.

Isso mostra que essa definição de produto tensorial é muito ingênua; a solução óbvia é defini-lo de modo que seja antissimétrico, de modo que os dois termos do meio se cancelem. Isso leva ao conceito de álgebra de Lie.

Álgebras não unitárias

Alguns autores usam o termo "álgebra associativa" para se referir a estruturas que não têm necessariamente uma identidade multiplicativa e, portanto, considerar homomorfismos que não são necessariamente unitários.

Um exemplo de álgebra associativa não unitária é dado pelo conjunto de todas as funções f: R → R cujo limite é x próximo do infinito é zero.

Outro exemplo é o espaço vetorial de funções periódicas contínuas, juntamente com o produto de convolução.