Alfred Tarski

Alfred Tarski (nascido Alfred Teitelbaum; 14 de janeiro de 1901 - 26 de outubro de 1983) foi um lógico e matemático polonês-americano. Autor prolífico, mais conhecido por seu trabalho em teoria dos modelos, metamatemática e lógica algébrica, ele também contribuiu para álgebra abstrata, topologia, geometria, teoria da medida, lógica matemática, teoria dos conjuntos e filosofia analítica.

Educado na Polônia, na Universidade de Varsóvia, e membro da escola de lógica Lwów-Varsóvia e da escola de matemática de Varsóvia, ele imigrou para os Estados Unidos em 1939, onde se naturalizou em 1945. Tarski ensinou e realizou pesquisas em matemática na Universidade da Califórnia, Berkeley, de 1942 até sua morte em 1983.

Seus biógrafos Anita Burdman Feferman e Solomon Feferman afirmam que, “Juntamente com seu contemporâneo, Kurt Gödel, ele mudou a face da lógica no século XX, especialmente através de seu trabalho sobre o conceito de verdade e a teoria da verdade”. modelos."

Vida

Primeira vida e educação

Alfred Tarski nasceu Alfred Teitelbaum (ortografia polonesa: "Tajtelbaum"), filho de pais que eram judeus poloneses em circunstâncias confortáveis. Ele manifestou suas habilidades matemáticas pela primeira vez enquanto estava na escola secundária, em Szkoła Mazowiecka de Varsóvia. Mesmo assim, ingressou na Universidade de Varsóvia em 1918 com a intenção de estudar biologia.

Depois que a Polónia recuperou a independência em 1918, a Universidade de Varsóvia ficou sob a liderança de Jan Łukasiewicz, Stanisław Leśniewski e Wacław Sierpiński e rapidamente se tornou uma instituição de investigação líder mundial em lógica, matemática fundamental e filosofia da matemática. Leśniewski reconheceu o potencial de Tarski como matemático e encorajou-o a abandonar a biologia. A partir de então, Tarski frequentou cursos ministrados por Łukasiewicz, Sierpiński, Stefan Mazurkiewicz e Tadeusz Kotarbiński, e em 1924 tornou-se a única pessoa a concluir um doutorado sob a supervisão de Leśniewski. Sua tese foi intitulada O wyrazie pierwotnym logistyki (Sobre o termo primitivo da logística; publicada em 1923). Tarski e Leśniewski logo se tornaram legais um com o outro, principalmente devido ao crescente anti-semitismo deste último. No entanto, mais tarde na vida, Tarski reservou seus mais calorosos elogios a Kotarbiński, que foram retribuídos.

Em 1923, Alfred Teitelbaum e seu irmão Wacław mudaram seu sobrenome para "Tarski". Os irmãos Tarski também se converteram ao catolicismo romano, a religião dominante na Polónia. Alfredo fez isso mesmo sendo um ateu declarado.

Carreira

Depois de se tornar a pessoa mais jovem a concluir um doutorado na Universidade de Varsóvia, Tarski ensinou lógica no Instituto Pedagógico Polonês, matemática e lógica na universidade e atuou como assistente de Łukasiewicz. Como esses cargos eram mal remunerados, Tarski também lecionou matemática numa escola secundária de Varsóvia; antes da Segunda Guerra Mundial, não era incomum que intelectuais europeus com calibre de investigação lecionassem no ensino secundário. Assim, entre 1923 e a sua partida para os Estados Unidos em 1939, Tarski não só escreveu vários livros didáticos e muitos artigos, alguns deles inovadores, mas também o fez enquanto se sustentava principalmente ensinando matemática no ensino médio. Em 1929, Tarski casou-se com a colega professora Maria Witkowska, uma polonesa de origem católica. Ela havia trabalhado como mensageira do exército na Guerra Polaco-Soviética. Eles tiveram dois filhos; um filho Jan Tarski, que se tornou físico, e uma filha Ina, que se casou com o matemático Andrzej Ehrenfeucht.

Tarski candidatou-se a uma cátedra de filosofia na Universidade de Lwów, mas, por recomendação de Bertrand Russell, a cadeira foi concedida a Leon Chwistek. Em 1930, Tarski visitou a Universidade de Viena, deu palestras no colóquio de Karl Menger e conheceu Kurt Gödel. Graças a uma bolsa, ele pôde retornar a Viena durante o primeiro semestre de 1935 para trabalhar com o grupo de pesquisa de Menger. De Viena, ele viajou para Paris para apresentar as suas ideias sobre a verdade na primeira reunião do movimento Unidade da Ciência, uma consequência do Círculo de Viena. A carreira acadêmica de Tarski na Polônia foi forte e repetidamente impactada por sua herança. Por exemplo, em 1937, Tarski candidatou-se a uma cátedra na Universidade de Poznań, mas a cátedra foi abolida para evitar atribuí-la a Tarski (que era indiscutivelmente o candidato mais forte) porque ele era judeu. Os laços de Tarski com o movimento da Unidade da Ciência provavelmente salvaram sua vida, porque resultaram em seu convite para discursar no Congresso da Unidade da Ciência, realizado em setembro de 1939 na Universidade de Harvard. Assim, ele deixou a Polónia em agosto de 1939, no último navio a partir da Polónia para os Estados Unidos antes da invasão alemã e soviética da Polónia e da eclosão da Segunda Guerra Mundial. Tarski saiu com relutância, porque Leśniewski havia morrido alguns meses antes, criando uma vaga que Tarski esperava preencher. Alheio à ameaça nazista, ele deixou a esposa e os filhos em Varsóvia. Ele não os viu novamente até 1946. Durante a guerra, quase toda a sua família judia foi assassinada nas mãos das autoridades de ocupação alemãs.

Uma vez nos Estados Unidos, Tarski ocupou vários cargos temporários de ensino e pesquisa: Universidade de Harvard (1939), City College of New York (1940) e, graças a uma bolsa Guggenheim, no Instituto de Estudos Avançados de Princeton (1942), onde conheceu novamente Gödel. Em 1942, Tarski ingressou no Departamento de Matemática da Universidade da Califórnia, Berkeley, onde passou o resto de sua carreira. Tarski tornou-se cidadão americano em 1945. Embora emérito desde 1968, lecionou até 1973 e supervisionou o doutorado. candidatos até sua morte. Em Berkeley, Tarski adquiriu a reputação de professor surpreendente e exigente, fato observado por muitos observadores:

Seus seminários em Berkeley rapidamente se tornaram famosos no mundo da lógica matemática. Seus alunos, muitos dos quais se tornaram matemáticos distintos, observaram a incrível energia com que ele iria coagir e cajole seu melhor trabalho fora deles, sempre exigindo os mais altos padrões de clareza e precisão.

Tarski foi extrovertido, rápido, com forte vontade, enérgico e agudos. Ele preferiu que sua pesquisa fosse colaborativa - às vezes trabalhando a noite toda com um colega - e era muito rápido sobre a prioridade.

Um líder carismático e professor, conhecido por seu estilo expositório brilhantemente preciso, mas suspense, Tarski tinha padrões intimidativamente elevados para os alunos, mas ao mesmo tempo ele poderia ser muito encorajador, e particularmente para as mulheres — em contraste com a tendência geral. Alguns estudantes ficaram assustados, mas um círculo de discípulos permaneceu, muitos dos quais se tornaram líderes de renome mundial no campo.

Tarski orientou vinte e quatro doutores. dissertações incluindo (em ordem cronológica) as de Andrzej Mostowski, Bjarni Jónsson, Julia Robinson, Robert Vaught, Solomon Feferman, Richard Montague, James Donald Monk, Haim Gaifman, Donald Pigozzi e Roger Maddux, bem como Chen Chung Chang e Jerome Keisler, autores de Model Theory (1973), um texto clássico na área. Ele também influenciou fortemente as dissertações de Alfred Lindenbaum, Dana Scott e Steven Givant. Cinco dos alunos de Tarski eram mulheres, um fato notável, visto que os homens representavam a esmagadora maioria dos estudantes de pós-graduação na época. No entanto, ele teve casos extraconjugais com pelo menos dois desses alunos. Depois de mostrar outro trabalho de sua aluna a um colega, o próprio colega o publicou, levando-a a abandonar a pós-graduação e posteriormente a se mudar para uma universidade diferente e com um orientador diferente.

Tarski lecionou na University College, Londres (1950, 1966), no Institut Henri Poincaré em Paris (1955), no Instituto Miller de Pesquisa Básica em Ciência em Berkeley (1958–60), na Universidade da Califórnia em Los Angeles (1967) e a Pontifícia Universidade Católica do Chile (1974–75). Entre muitas distinções conquistadas ao longo de sua carreira, Tarski foi eleito para a Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos, para a Academia Britânica e para a Academia Real Holandesa de Artes e Ciências em 1958, recebeu títulos honorários da Pontifícia Universidade Católica do Chile em 1975., de Marselha' Universidade Paul Cézanne em 1977 e da Universidade de Calgary, bem como a Berkeley Citation em 1981. Tarski presidiu a Associação para Lógica Simbólica, 1944–46, e a União Internacional para a História e Filosofia da Ciência, 1956–57. Ele também foi editor honorário da Algebra Universalis.

Trabalho em matemática

Os interesses matemáticos de Tarski eram excepcionalmente amplos. Seus artigos coletados têm cerca de 2.500 páginas, a maioria deles sobre matemática, não sobre lógica. Para uma pesquisa concisa das realizações matemáticas e lógicas de Tarski feita por seu ex-aluno Solomon Feferman, consulte "Interlúdios I – VI" em Feferman e Feferman.

O primeiro artigo de Tarski, publicado quando ele tinha 19 anos, foi sobre a teoria dos conjuntos, assunto ao qual ele retornou ao longo de sua vida. Em 1924, ele e Stefan Banach provaram que, se aceitarmos o Axioma da Escolha, uma bola pode ser cortada em um número finito de pedaços e depois remontada em uma bola de tamanho maior ou, alternativamente, pode ser remontada em duas bolas cujas tamanhos cada um igual ao do original. Este resultado é agora chamado de paradoxo de Banach-Tarski.

Em Um método de decisão para álgebra e geometria elementares, Tarski mostrou, pelo método de eliminação de quantificadores, que a teoria de primeira ordem dos números reais sob adição e multiplicação é decidível. (Embora este resultado tenha aparecido apenas em 1948, ele remonta a 1930 e foi mencionado em Tarski (1931).) Este é um resultado muito curioso, porque Alonzo Church provou em 1936 que a aritmética de Peano (a teoria dos números naturais) é não decidível. A aritmética de Peano também é incompleta pelo teorema da incompletude de Gödel. Em suas teorias indecidíveis de 1953, Tarski et al. mostrou que muitos sistemas matemáticos, incluindo a teoria das redes, a geometria projetiva abstrata e as álgebras de fechamento, são todos indecidíveis. A teoria dos grupos abelianos é decidível, mas a dos grupos não-abelianos não.

Nas décadas de 1920 e 30, Tarski frequentemente ensinava geometria no ensino médio. Usando algumas idéias de Mario Pieri, em 1926 Tarski desenvolveu uma axiomatização original para a geometria euclidiana plana, consideravelmente mais concisa que a de Hilbert. Os axiomas de Tarski formam uma teoria de primeira ordem desprovida de teoria dos conjuntos, cujos indivíduos são pontos, e possuindo apenas duas relações primitivas. Em 1930, ele provou que esta teoria era decidível porque ela pode ser mapeada em outra teoria que ele já havia provado ser decidível, nomeadamente a sua teoria de primeira ordem dos números reais.

Em 1929, ele mostrou que grande parte da geometria sólida euclidiana poderia ser reformulada como uma teoria de segunda ordem cujos indivíduos são esferas (uma noção primitiva), uma única relação binária primitiva & #34;está contida in", e dois axiomas que, entre outras coisas, implicam que a contenção ordena parcialmente as esferas. Afrouxar a exigência de que todos os indivíduos sejam esferas produz uma formalização da mereologia muito mais fácil de expor do que a variante de Lesniewski. Perto do fim de sua vida, Tarski escreveu uma longa carta, publicada como Tarski e Givant (1999), resumindo seu trabalho em geometria.

Álgebras Cardinais estudou álgebras cujos modelos incluem a aritmética dos números cardinais. Álgebras Ordinais apresenta uma álgebra para a teoria aditiva de tipos de ordem. A adição cardinal, mas não ordinal, comuta.

Em 1941, Tarski publicou um importante artigo sobre relações binárias, que deu início ao trabalho sobre álgebra de relações e sua metamatemática que ocupou Tarski e seus alunos durante grande parte de sua vida. Embora essa exploração (e o trabalho intimamente relacionado de Roger Lyndon) tenha descoberto algumas limitações importantes da álgebra de relações, Tarski também mostrou (Tarski e Givant 1987) que a álgebra de relações pode expressar a maior parte da teoria dos conjuntos axiomáticas e da aritmética de Peano. Para uma introdução à álgebra de relações, consulte Maddux (2006). No final da década de 1940, Tarski e seus alunos desenvolveram álgebras cilíndricas, que são para a lógica de primeira ordem o que a álgebra booleana de dois elementos é para a lógica sentencial clássica. Este trabalho culminou nas duas monografias de Tarski, Henkin e Monk (1971, 1985).

Trabalhar em lógica

O aluno de Tarski, Robert Lawson Vaught, classificou Tarski como um dos quatro maiores lógicos de todos os tempos - junto com Aristóteles, Gottlob Frege e Kurt Gödel. No entanto, Tarski expressou frequentemente grande admiração por Charles Sanders Peirce, particularmente pelo seu trabalho pioneiro na lógica das relações.

Tarski produziu axiomas para consequências lógicas e trabalhou em sistemas dedutivos, na álgebra da lógica e na teoria da definibilidade. Seus métodos semânticos, que culminaram na teoria do modelo que ele e vários de seus alunos de Berkeley desenvolveram nas décadas de 1950 e 60, transformaram radicalmente a metamatemática da teoria da prova de Hilbert. Por volta de 1930, Tarski desenvolveu uma teoria abstrata de deduções lógicas que modela algumas propriedades dos cálculos lógicos. Matematicamente, o que ele descreveu é apenas um operador de fechamento finitário em um conjunto (o conjunto de frases). Na lógica algébrica abstrata, os operadores de fechamento finitários ainda são estudados sob o nome de operador de consequência, que foi cunhado por Tarski. O conjunto S representa um conjunto de sentenças, um subconjunto T de S uma teoria, e cl(T) é o conjunto de todas as sentenças que decorrem da teoria. Esta abordagem abstrata foi aplicada à lógica fuzzy (ver Gerla 2000).

Na visão [Tarski], a metamatemática tornou-se semelhante a qualquer disciplina matemática. Não só seus conceitos e resultados podem ser matemáticos, mas eles realmente podem ser integrados em matemática.... Tarski destruiu a fronteira entre metamatemática e matemática. Ele se opôs a restringir o papel da metamatemática aos fundamentos da matemática.

O artigo de Tarski de 1936, "Sobre o conceito de consequência lógica" argumentou que a conclusão de um argumento decorrerá logicamente das suas premissas se e somente se todo modelo das premissas for um modelo da conclusão. Em 1937, publicou um artigo apresentando claramente seus pontos de vista sobre a natureza e o propósito do método dedutivo e o papel da lógica nos estudos científicos. Seu ensino de lógica e axiomática no ensino médio e na graduação culminou em um pequeno texto clássico, publicado primeiro em polonês, depois em tradução alemã e, finalmente, em uma tradução para o inglês de 1941 como Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas.

'Verdade e prova' de Tarski, de 1969, considerou os teoremas da incompletude de Gödel e o teorema da indefinibilidade de Tarski, e refletiu sobre suas consequências para o método axiomático em matemática.

Verdade em linguagens formalizadas

Em 1933, Tarski publicou um artigo muito longo em polonês, intitulado "Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych", "Estabelecendo uma definição matemática de verdade para linguagens formais." A tradução alemã de 1935 foi intitulada "Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen", "O conceito de verdade em línguas formalizadas", às vezes abreviado para "Wahrheitsbegriff". Uma tradução para o inglês apareceu na primeira edição de 1956 do volume Logic, Semantics, Metamathematics. Esta coleção de artigos de 1923 a 1938 é um evento na filosofia analítica do século XX, uma contribuição para a lógica simbólica, a semântica e a filosofia da linguagem. Para uma breve discussão de seu conteúdo, consulte Convenção T (e também esquema T).

Alguns debates filosóficos recentes examinam até que ponto a teoria da verdade de Tarski para linguagens formalizadas pode ser vista como uma teoria da verdade por correspondência. O debate centra-se em como ler a condição de adequação material de Tarski para uma definição verdadeira. Essa condição exige que a teoria da verdade tenha os seguintes teoremas para todas as sentenças p da linguagem para a qual a verdade está sendo definida:

"p" é verdade se e somente se p.

(onde p é a proposição expressa por "p")

O debate consiste em ler frases desta forma, como

"A neve é branca" é verdade se e somente se a neve é branca

como expressando meramente uma teoria deflacionária da verdade ou como incorporando a verdade como uma propriedade mais substancial (ver Kirkham 1992). É importante perceber que a teoria da verdade de Tarski é para linguagens formalizadas, portanto exemplos em linguagem natural não são ilustrações do uso da teoria da verdade de Tarski.

Consequência lógica

Em 1936, Tarski publicou versões em polonês e alemão de uma palestra que proferiu no ano anterior no Congresso Internacional de Filosofia Científica em Paris. Uma nova tradução inglesa deste artigo, Tarski (2002), destaca as muitas diferenças entre as versões alemã e polaca do artigo e corrige uma série de erros de tradução em Tarski (1983).

Esta publicação estabeleceu a definição moderna da teoria do modelo de consequência lógica (semântica), ou pelo menos a base para ela. Se a noção de Tarski era inteiramente moderna, depende se ele pretendia admitir modelos com domínios variados (e em particular, modelos com domínios de cardinalidades diferentes). Esta questão é motivo de algum debate na literatura filosófica atual. John Etchemendy estimulou grande parte da discussão recente sobre o tratamento dado por Tarski a vários domínios.

Tarski termina salientando que a sua definição de consequência lógica depende de uma divisão de termos em lógico e extra-lógico e expressa algum cepticismo quanto à possibilidade de qualquer divisão objectiva desse tipo ocorrer. "O que são noções lógicas?" pode, portanto, ser visto como uma continuação de "Sobre o Conceito de Consequência Lógica".

Noções lógicas

Outra teoria que atrai a atenção de Tarski na literatura filosófica recente é aquela delineada em seu livro "What are Logical Notions?" (Tarski 1986). Esta é a versão publicada de uma palestra que ele proferiu originalmente em 1966 em Londres e mais tarde em 1973 em Buffalo; foi editado sem seu envolvimento direto por John Corcoran. Tornou-se o artigo mais citado na revista History and Philosophy of Logic.

Na palestra, Tarski propôs a demarcação de operações lógicas (que ele chama de “noções”) de operações não lógicas. Os critérios sugeridos foram derivados do programa Erlangen do matemático alemão do século XIX Felix Klein. Mautner (em 1946), e possivelmente um artigo do matemático português José Sebastião e Silva, anteciparam Tarski na aplicação do Programa de Erlangen à lógica.

Esse programa classificou os vários tipos de geometria (geometria euclidiana, geometria afim, topologia, etc.) pelo tipo de transformação um-um do espaço sobre si mesmo que deixou invariantes os objetos daquela teoria geométrica. (Uma transformação um-para-um é um mapa funcional do espaço sobre si mesmo, de modo que cada ponto do espaço esteja associado ou mapeado para um outro ponto do espaço. Então, "girar 30 graus" e 'ampliar por um fator de 2' são descrições intuitivas de transformações simples e uniformes um-um.) As transformações contínuas dão origem aos objetos da topologia, transformações de similaridade às da geometria euclidiana e assim por diante.

À medida que a gama de transformações permitidas se torna mais ampla, a gama de objetos que podemos distinguir como preservados pela aplicação das transformações torna-se mais estreita. As transformações de similaridade são bastante estreitas (preservam a distância relativa entre os pontos) e, portanto, permitem-nos distinguir relativamente muitas coisas (por exemplo, triângulos equiláteros de triângulos não equiláteros). As transformações contínuas (que podem intuitivamente ser pensadas como transformações que permitem estiramento, compressão, flexão e torção não uniformes, mas sem rasgar ou colar) permitem-nos distinguir um polígono de um anel (anel com um furo no centro), mas não nos permitem distinguir dois polígonos um do outro.