4-politopo

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Objeto geométrico de quatro dimensões com lados lisos

Gráficos dos seis convexos regulares 4-polytopes
3,3,3	{3,3,4}	(4,3,3)
5-célula Pentato 4-simples	16 células Ortodoxo 4-ortoplexo	8 células Tesseract 4-cube
(3,4,3)	(3,3,5)	{5,3,3}
24-célula Octaplex	600 células Tetraplexo	120 células Dodeca.

Em geometria, um 4-politopo (às vezes também chamado de policórnio, policélula ou poliedroide) é um politopo quadridimensional. É uma figura conectada e fechada, composta por elementos politopais de menor dimensão: vértices, arestas, faces (polígonos) e células (poliedros). Cada face é compartilhada por exatamente duas células. Os 4-polítopos foram descobertos pelo matemático suíço Ludwig Schläfli antes de 1853.

O análogo bidimensional de um politopo 4 é um polígono, e o análogo tridimensional é um poliedro.

Topologicamente, os 4-polítopos estão intimamente relacionados aos favos de mel uniformes, como o favo de mel cúbico, que forma mosaicos de 3 espaços; da mesma forma, o cubo 3D está relacionado ao ladrilho quadrado 2D infinito. 4-polítopos convexos podem ser cortados e desdobrados como redes em 3-espaço.

Definição

Um 4-politopo é uma figura quadridimensional fechada. É composto por vértices (pontos de canto), arestas, faces e células. Uma célula é o análogo tridimensional de uma face e, portanto, um poliedro. Cada face deve unir exatamente duas células, de forma análoga à maneira como cada aresta de um poliedro une apenas duas faces. Como qualquer politopo, os elementos de um 4-politopo não podem ser subdivididos em dois ou mais conjuntos que também são 4-politopos, ou seja, não é um composto.

Geometria

Os 4-polítopos regulares convexos são os análogos quadridimensionais dos sólidos platônicos. O 4-politopo mais conhecido é o tesserato ou hipercubo, o análogo 4D do cubo.

Os 4-polítopos regulares convexos podem ser ordenados por tamanho como uma medida de conteúdo 4-dimensional (hipervolume) para o mesmo raio. Cada polítopo maior na sequência é mais redondo que seu predecessor, abrangendo mais conteúdo dentro do mesmo raio. O 4-simplex (5 células) é o menor caso limite e o de 120 células é o maior. A complexidade (medida pela comparação de matrizes de configuração ou simplesmente o número de vértices) segue a mesma ordem.

Convexo regular 4-polytops
Grupo de simetria	A4	B4		F4	H4
Nome	5-célula Hipertetraedro 5-ponto	16 células Hiper-octahedron 8 pontos	8 células Hipercubo 16 pontos	24-célula 24 pontos	600 células Hiper-icosaedro 120 pontos	120 células Hiper-dodecaedro 600 pontos
Símbolo de Schläfli	3, 3, 3	3, 3, 4	(4, 3, 3)	3, 4, 3	3, 3, 5	5, 3, 3
Espelhos de Coxeter
Dihedrals de espelho	D/3 D/3 D/3 D/2 D/2 D/2	D/3 D/3 D/4 D/2 D/2 D/2	D/4 D/3 D/3 D/2 D/2 D/2	D/3 D/4 D/3 D/2 D/2 D/2	D/3 D/3 D/5 D/2 D/2 D/2	D/5 D/3 D/3 D/2 D/2 D/2
Gráfico
Versículos	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cúmplices	120 icosahedral	600 tetrahedral
Bordas	10 triangulares	24 quadrados	32 triangulares	96 triangulares	720 pentagonal	1200 triangular
Caras	10 triângulos	32 triângulos	24 quadrados	96 triângulos	1200 triângulos	Pentágonos de 720
Células	5 anos de idade	16 anos de idade	8 cubos	24 octahedra	600 tetraedros	120 dólares
Tori!	1 5-tetraedro	2 8-tetraedro	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetraedro	12 10-docaedron
Inscrição	120 em 120 células	675 em 120 células	2 16 células	3 8 células	25 24 células	10 600 células
Grandes polígonos		2 quadrados x 3	4 retângulos x 4	4 hexágonos x 4	12 decagons x 6	100 hexágonos irregulares x 4
Poligões de Petrie	1 pentágono	1 octógono	2 octógonos	2 dodecagons	4 30-gons	20 30-gons
Raio longo	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Comprimento da borda	${displaystyle {sqrt {tfrac {5}{2}}}approx 1.581}$	$sqrt{2} approx 1.414$	$1$	$1$	${displaystyle {tfrac {1}{phi }}approx 0.618}$	${displaystyle {tfrac {1}{phi ^{2}{sqrt {2}}}}approx 0.270}$
Raio curto	$tfrac{1}{4}$	${tfrac {1}{2}}$	${tfrac {1}{2}}$	${displaystyle {sqrt {tfrac {1}{2}}}approx 0.707}$	${displaystyle {sqrt {tfrac {phi ^{4}}{8}}}approx 0.926}$	${displaystyle {sqrt {tfrac {phi ^{4}}{8}}}approx 0.926}$
Área	${displaystyle 10left({tfrac {5{sqrt {3}}}{8}}right)approx 10.825}$	${displaystyle 32left({sqrt {tfrac {3}{4}}}right)approx 27.713}$	$24$	${displaystyle 96left({sqrt {tfrac {3}{16}}}right)approx 41.569}$	${displaystyle 1200left({tfrac {sqrt {3}}{4phi ^{2}}}right)approx 198.48}$	${displaystyle 720left({tfrac {sqrt {25+10{sqrt {5}}}}{8phi ^{4}}}right)approx 90.366}$
Volume	${displaystyle 5left({tfrac {5{sqrt {5}}}{24}}right)approx 2.329}$	${displaystyle 16left({tfrac {1}{3}}right)approx 5.333}$	$8$	${displaystyle 24left({tfrac {sqrt {2}}{3}}right)approx 11.314}$	${displaystyle 600left({tfrac {sqrt {2}}{12phi ^{3}}}right)approx 16.693}$	${displaystyle 120left({tfrac {15+7{sqrt {5}}}{4phi ^{6}{sqrt {8}}}}right)approx 18.118}$
4-Conteúdo	${displaystyle {tfrac {sqrt {5}}{24}}left({tfrac {sqrt {5}}{2}}right)^{4}approx 0.146}$	${displaystyle {tfrac {2}{3}}approx 0.667}$	$1$	$2$	${displaystyle {tfrac {{text{Short}}times {text{Vol}}}{4}}approx 3.863}$	${displaystyle {tfrac {{text{Short}}times {text{Vol}}}{4}}approx 4.193}$

Visualização

Exemplo de apresentações de uma 24-cell
Secção		Rede

Projecções
Schlegel	2D ortogonal	3D ortogonal

4-polítopos não podem ser vistos no espaço tridimensional devido à sua dimensão extra. Várias técnicas são usadas para ajudar a visualizá-los.

Projeção ortogonal

As projeções ortogonais podem ser usadas para mostrar várias orientações de simetria de um 4-politopo. Eles podem ser desenhados em 2D como gráficos de borda de vértice e podem ser mostrados em 3D com faces sólidas como envelopes projetivos visíveis.

Projeção de perspectiva

Assim como uma forma 3D pode ser projetada em uma folha plana, uma forma 4-D pode ser projetada em um espaço 3 ou até mesmo em uma folha plana. Uma projeção comum é um diagrama de Schlegel que usa projeção estereográfica de pontos na superfície de uma esfera tridimensional em três dimensões, conectada por arestas retas, faces e células desenhadas no espaço tridimensional.

Secção

Assim como uma fatia em um poliedro revela uma superfície cortada, uma fatia em um politopo 4 revela uma "hipersuperfície" em três dimensões. Uma sequência de tais seções pode ser usada para construir uma compreensão da forma geral. A dimensão extra pode ser igualada ao tempo para produzir uma animação suave dessas seções transversais.

Redes

Uma rede de um 4-politopo é composta por células poliédricas que são conectadas por suas faces e todas ocupam o mesmo espaço tridimensional, assim como as faces poligonais de uma rede de um poliedro são conectadas por suas arestas e todas ocupam o mesmo avião.

Características topológicas

O tesseract como um diagrama de Schlegel

A topologia de qualquer 4-politopo é definida por seus números de Betti e coeficientes de torção.

O valor da característica de Euler usada para caracterizar os poliedros não se generaliza utilmente para dimensões superiores e é zero para todos os 4-politopos, qualquer que seja sua topologia subjacente. Esta inadequação da característica de Euler para distinguir de forma confiável entre diferentes topologias em dimensões superiores levou à descoberta dos números de Betti mais sofisticados.

Da mesma forma, a noção de orientabilidade de um poliedro é insuficiente para caracterizar as torções de superfície de 4-politopos toroidais, e isso levou ao uso de coeficientes de torção.

Classificação

Critérios

Como todos os politopos, os 4-politopos podem ser classificados com base em propriedades como "convexidade" e "simetria".

Um 4-politope é Convexo se o seu limite (incluindo suas células, faces e bordas) não se cruza e o segmento de linha que une quaisquer dois pontos do 4-politope está contido no 4-politope ou seu interior; caso contrário, é não-convexo. Os 4-polytopes auto-intersectantes também são conhecidos como 4-polytopes estrela, da analogia com as formas semelhantes às estrelas dos polígonos estrela não-convexo e polihedra de Kepler-Poinsot.
Um 4-politope é regular se for transitivo em suas bandeiras. Isso significa que suas células são todos poliedros regulares congruentes, e de forma similar suas figuras de vértice são congruentes e de outro tipo de poliedro regular.
Um convexo 4-politope é semi-regular se tem um grupo de simetria sob o qual todos os vértices são equivalentes (vertex-transitivo) e suas células são poliedros regulares. As células podem ser de dois ou mais tipos, desde que tenham o mesmo tipo de face. Há apenas 3 casos identificados por Thorold Gosset em 1900: o rectificado 5-célula, rectificado 600-célula e snub 24-célula.
Um 4-politope é uniforme se tem um grupo de simetria sob o qual todos os vértices são equivalentes, e suas células são polihedra uniforme. As caras de um 4-politope uniforme devem ser regulares.
Um 4-politope é Com licença. se for vértice-transitivo, e tem todas as bordas de comprimento iguais. Isso permite que as células que não são uniformes, como os sólidos convexo Johnson de cara regular.
Um 4-politope regular que também é convexo é dito ser um convexo regular 4-politope.
Um 4-politope é prismática se for o produto cartesiano de dois ou mais politopos de dimensão inferior. Um 4-politope prismático é uniforme se seus fatores forem uniformes. O hipercubo é prismático (produto de dois quadrados, ou de um cubo e segmento de linha), mas é considerado separadamente porque tem simetrias que não as herdadas de seus fatores.
A tiling ou favo de mel de 3 espaços é a divisão do espaço euclidiano tridimensional em uma grade repetitiva de células poliedrais. Tais tilings ou tessellations são infinitos e não vinculam um volume "4D", e são exemplos de 4-polytopes infinitos. A tiling uniforme de 3 espaços é um cujos vértices são congruentes e relacionados por um grupo espacial e cujas células são polihedra uniforme.

Aulas

A seguir, listamos as várias categorias de 4-politopos classificados de acordo com os critérios acima:

O truncado 120-célula é um dos 47 convexos uniformes 4-polytopes

4-politopo uniforme (transitivo de vértice):

Convex uniforme 4-polytops (64, mais duas famílias infinitas)
- 47 convexos não-prismáticos uniforme 4-politope incluindo:
  - 6 Convex regular 4-polytope
- uniforme prismático 4-polytopes:
  - {} × {p,q}: 18 hiperprismas poliedrais (incluindo hiperprisma cúbico, o hipercubo regular)
  - Prismas construídos em antiprismas (família infinita)
  - {p} × {q}: duoprismos (família infinita)
Não-convexo uniforme 4-polytopes (10 + desconhecido)

O grande grande estelated 120-cell é o maior de 10 estrelas regulares 4-politopes, tendo 600 vértices.
- 10 (regular) Schläfli-Hess politopes
- 57 hiperprismas construídos em polihedra uniforme não convexo
- Número total desconhecido de 4-polytopes uniformes não convexos: Norman Johnson e outros colaboradores identificaram 2189 casos conhecidos (convexo e estrela, excluindo as famílias infinitas), todos construídos por figuras de vértices pelo software Stella4D.

Outros 4-politopos convexos:

Pirâmide poliedral
Bipiramida polida
Prisma poliedral

O favo de mel cúbico regular é o único 4-politope regular infinito no espaço tridimensional Euclidiano.

4-polítopos uniformes infinitos de 3-espaço euclidiano (tesselações uniformes de células uniformes convexas)

28 melões uniformes convexos: tessellations polihedral convexo uniforme, incluindo:
- 1 tessellação regular, favo de mel cúbico: {4,3,4}

4-polítopos uniformes infinitos de 3-espaço hiperbólico (tesselações uniformes de células uniformes convexas)

76 Melcombs uniformes de convexo de Wythoffian no espaço hiperbólico, incluindo:
- 4 tessellation regular of compact hyperbolic 3-space: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

4-politopo uniforme duplo (transitivo celular):

41 único duplo convexo uniforme 4-polytops
17 único duplo convexo uniforme prismas poliédricos
Família infinita de duoprismos uniformes convexos duplos (células tetraedrais irregulares)
27 single convex duplo uniforme favos, incluindo:
- Mel de dodecahedral Rhombic
- favo de mel tetrahedral de disfenóide

Outros:

Weaire-Phelan estrutura periódica espaço-cheio de mel com células irregulares

O 11-célula é um resumo regular 4-politope, existente no plano real projetivo, pode ser visto apresentando seus 11 vértices hemi-icosaedrais e células por índice e cor.

4-politopos regulares abstratos:

11 células
57 células

Essas categorias incluem apenas os 4-polítopos que exibem um alto grau de simetria. Muitos outros 4-polítopos são possíveis, mas não foram estudados tão extensivamente quanto os incluídos nessas categorias.

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